转化与化归畅想曲

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1、转化与化归畅想曲　　在数学解答问题中，常常会遇到一些问题直接求解较为困难，然而通过观察、分析等思维过程，可以将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想我们称之为“化归与转化的思想”.　　畅想一：陌生与熟悉的转化　　例1已知m1=a+ba-b，m2=c+dc-d，m3=ac-bdad+bc，求证：m1+m2+m3=m1m2m3.　　分析：由求证式联想到△ABC中有一个熟知结论：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故可进行三角代换来转化问题.　　解：原条件可化为m1

2、=1+ba1-ba，m2=1+dc1-dc，m3=1-bdacdc+ba，　　令ba=tanα，dc=tanβ，则　　m1=tan（π4+α），m2=tan（π4+β），　　m3=1-tanαtanβtanα+tanβ=1tan（α+β）=tan（π2-α-β）.　　因为（π4+α）+（π4+β）+（π2-α-β）=π，　　所以tan（π4+α）+tan（π4+β）+tan（π2-α-β）=　　tan（π4+α）tan（π4+β）tan（π2-α-β）　　，即m1+m2+m3=m1m2m3.4　　点评：将陌生的问

3、题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识和经验来解决问题.本题巧妙地将陌生的分式经过整理变形转化为熟悉的两角和的正切公式来解决.　　畅想二：复杂与简单的转化　　例2已知函数y=1+1-x2-1+x，求函数的定义域，判断函数的单调性并求函数的值域.　　分析：本题观察上去很复杂，则我们不妨尝试用代换法把函数式变的简单些.　　解：由1-x2≥01+x≥0，则可得到-1≤x≤1，所以函数的定义域为[-1，1]，由此可作三角代换.　　设x=cosθ，θ∈[0，π]，x（θ）是单调递减函数.则y=1+sinθ-1+cos

4、θ　　=sinθ2+（1-2）cosθ2，由于sinθ2，（1-2）cosθ2在θ∈[0，π]上均为单调增函数，则由复合函数的单调性可以知道：函数y=1+1-x2-1+x在[-1，1]上是单调递减函数，将x=-1，x=1分别代入得到函数的值域是[1-2，1].　　点评：本题函数形式比较复杂，直接化简比较难，通过引入三角进行换元，将复杂函数转化为简单的三角函数形式，但在引入参数角时，还需要跟上合适的范围以便于求解决.　　畅想三：抽象与具体的转化　　例3设f（x）定义在实数集R上，当x>0时，f（x）>1，且对于任意

5、实数x、y，都有f（x+y）=f（x）f（y），同时f（1）=2，解不等式f（3x-x2）>4.4　　分析：由题设条件指数函数f（x）=2x符合题题意，而该函数具有性质f（x）>0，f（x）是增函数.（这就是证明方向）又4=2×2=f（1）f（1）=f（1+1）=f（2），原不等式化为f（3x-x2）>f（2）.（这就是变形方向）　　解：由f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），f（1）=2得到f（0）=1.　　当x>0时，f（x）>1>0；当x0，f（-x）>1>0，　　而f（x）f（-x）=f（x-x）=f

6、（0）=1，所以x0.　　又因为f（0）=1>0，所以x∈R，f（x）>0.　　设x1，x2∈R，且x10，f（x2-x1）>1.　　而f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]-f（x1）　　=f（x1）f（x2-x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，　　所以f（x2）>f（x1），　　y=f（x）在R上为单调增函数.　　又f（1）=2，所以不等式化为f（3x-x2）>f（1）f（1）=f（1+1）=f（2）.则由f（x）单调性则可以得到　　3x-x2>2，解得1

7、：由于指数函数f（x）=ax（a>0，a≠1）有类似f（x+y）=f（x）f（y）的性质，那么由指数函数的性质，则可推测抽象函数的性质，这就为解题探明思路.　　畅想四：数与形的转化　　例4求函数f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.4　　分析：直接求解本题有一定的难度，但是如果将x2-4x+13写成（x-2）2+（0+3）2，将问题转化为两点之间的距离，则问题即可迎刃而解.　　解：f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37　　=（x-2）2+（0+3）2+（x-6）2+（0-1）2，　　则设

8、A（2，-3）、B（6，1），P（x，0），则上述问题转化求

9、PA

10、+

11、PB

12、的最小值.　　如图，当点P位于AB与x轴的交点时，

13、PA

14、+

15、PB

16、取得最小值

17、AB

18、，则可以得到

19、AB

20、=42，所以f（x）的最小值为42.　　点评：本题通过转化为这种点与点之间的距离公式之后，它的几何意义就凸显出来，利用数形结合的方法，把代数问题就转化为几何问题.　　数学中的转化比比皆是，但