专题十三化归与转化

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1、专题十二化归与转化的思想【考点聚焦】转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为在已有范围内可解的问题的一种思维方式．应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。【自我检测】1．（2006辽宁）设集合,则满足的集合B的个数是（C）(A)1(B)3(C)4(D)82．函数f(x)=x3–3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围是

2、.0

3、等价的不等式组．【解】由以上分析，问题转化为二次方程ax2+2x－2a－1=0．在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图1所示），得等价不等式组：Δ=4+4a（2a+1）>0，－1<<2，af（－1）=a（－a－3）≥0，af（2）=a（2a+3）≥0．解得实数a的取值范围为［-3，］．图1【评析】本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了．问题2空间与平面的转化13例2如图2所示，图（a）为大小可变化的三棱锥P－ABC．（1）将此三棱锥沿三条侧棱

4、剪开，假定展开图刚好是一个直角梯形P1P2P3A，如图（b）所示．求证：侧棱PB⊥AC；图2（2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中PA=AC，PB=2，求侧面PAC与底面ABC所成角；（3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个三角形P1P2P3，如图（c）所示．已知P1P3=P2P3，P1P2=2a，若三棱锥相对棱PB与AC间的距离为d，求此三棱锥的体积．【解】（1）在平面图中P1B⊥P2B，P2B⊥P2C．故三棱锥中，PB⊥PA，PB⊥PC，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC．（2）由（

5、1）在三棱锥中作PD⊥AC于D，连结BD．由三垂线定理得BD⊥AC，∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展开图中，连BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4．设PA=AC=x，则P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3==，∴EP3=2．故CP3=，P2P3=，由AC·DP3=CP3·AEDP3=，又BP3==6，∴BD=．在△PDB中，cos∠PDB=，∴侧面PAC与底面ABC所成的角的大小为arccos．（3）在平面图中，由剪法知，A、B、C分别是三角形三

6、边的中点．由此得：AB=BC，AC=a．在三棱锥中，取AC中点D．连PD、BDAC⊥PD，AC⊥BD，故AC⊥平面PDB，且D到PB的距离为异面直线PB与AC之间的距离d，∴S△PDB=ad，∴V=a2d．【评析】立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算总是转化为平面内的角来求解．问题3未知与已知的转化例3对任意函数f(x),x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；②若x1D，则数列发生器结束工作

7、；若x1∈D，则将x1反馈回输入端13，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去。现定义（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围分析：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言解：（1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x

8、n}只有三项，（2）∵,即x2–3x+2=0∴x=1或x=2，即x0=1或2时故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*）（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2对于函数若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N*)综上所述，x1∈(1,2)由x1=f(x0),得x0∈