向量的概念与运算(1)

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1、向量的概念与运算　　一、知识网络二、高考考点　　1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。　　2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：　　（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；　　（2）向量共线的充要条件的应用；　　（3）向量垂直的充要条件的应用；　　（4）向量的夹角的计算与应用；　　（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。　　3、线段的定比分点线或平移问题。　　4、以向量为载体的三角求值或图象变换问

2、题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。　　三、知识要点　　（一）向量的概念10　　1、定义　　（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。　　（2）向量的模：向量 的大小（即长度）叫做向量 的模，记作 。　　特例：长度为0的向量叫做零向量，记作 ；长度为1的向量叫做单位向量.　　（3）平行向量（共线向量）：　　一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.　　特殊规定： 与任一向量平行（即共线）.　　　　（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。　　零向量与零向量相等。　　认知：向量的平移具有“保值性”。　　2、向量的坐标

3、表示　　（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 、 作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得 ，将有序实数对（x,y）叫做向量 的坐标，记作 ；并将 叫做向量 的坐标表示。　　（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。　　 （二）向量的运算　　1、向量的加法　　2、向量的减法　　3、实数与向量的积　　（1）定义　　（2）实数与向量的积的运算律：　　（3）平面向量的基本定理：　　如果 是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数1， 2使 ，这两个不共线的向量 叫做表示这一平面内

4、所有向量的一组基底。　　（4）向量共线的充要条件：　　（i）向量与非零向量 共线 有且只有一个实数 使 　　（ii）　　设 　　则： 　　4、向量的数量积（内积）10　　（1）定义：　　（i）向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，作 　　 叫做向量 与 的夹角。　　（ii）设两个非零向量 和 的夹角为 ，则把数量 叫做 与 的数量积（内积），记作 ，即 　　并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.　　（2）推论　　设 、 都是非零向量，则　　（i） 　　（ii） 　　（iii） 　　(3)坐标表示　　(i)设非零向量 ，则  　　 　　(ii)设 　　(4)运算律（自己总结，认知）　

5、　四、经典例题　　例1．判断下列命题是否正确：　　（1）若 的方向相同或相反；　　（2）若 　　（3）若 则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；　　　　例2．设点O为ΔABC所在平面内一点　　（1）若 ，则O为ΔABC的（　　　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　（2）若 ，则 为ΔABC的（　　　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心10　　（3）若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ΔABC的（　　） 　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　（4）若动点P满足 ,

6、则点P轨迹一定通过ΔABC的（　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　　例3：　　（1） 成立的充分必要条件为（　　）　　A、 　　　　　　　　　　　　B、 　　C、 　　　　　　　　　　　　D、 　　（2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设 且存在实数m使 ，则点A分 所成的比为（　　）　　A、- 　　　B、2　C、 　　　　D、-2　　例4：设 、 分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点， ，求实数m、n的值。例5． 设 试求满足：　　 （这里O为原点）例6． 设向量 满足 　　

7、（1）若 ，求 与 的夹角；　　（2）若 的值。　　例7．已知 的夹角为120°，且10 ,试求m，n及与 的夹角。　　例8． 设  的夹角为 ， 　　　五、高考填题　　（一）选择题、　　1、P是ΔABC所在平面上一点，且 ，则P是ΔABC的（　　）　　A、外心　　　　B、内心　　　　C、重心　　　　　D、垂心　　　2、已知向量 ， ,且 ,则一定共线的三点是（　　）　　A．A、B、D　　　　　　B.A、B、C　　　　　C.B、C、D　　　　D.A、C、D　　　　3、