§6-1--向量的概念与运算

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1、§6-1向量的概念与运算1.向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量,记作向量AB.a.b.c自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向蚩都看成是相等的向量.(2)向量的模：向量的长度，记作：

2、AB9a向量的夹角：两个非零向量a，b,^OA=a,OB=b,则(AOB称为向塑a,b的夹角，记作：〈a,b)零向量：模为0,方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1,方向任意的向量，与a共线的单位向量是：土丄@非0)(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量.相反向量：长度相等，方向相反的向

3、量.向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量•记作a〃b向量垂直；〈。，6)=90°时，向量。与b垂直，规定：0与任意向量垂直.2.向量的儿何运算(注意：运算法则、运算律)⑴加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则.⑵减法：三角形法则.⑶数乘：记作：2a.它的长度是：UaI=I/II・丨a丨它的方向：①当2>0时，/la与a同向②当兄<0时，2a与a反向③当2=0时，2a=0⑷数量积：①定义：a•b=aIbIcos

4、a2.(实数的结合律);l(a•6)=(2a)•b=a・(Ab)3.(分配律)(a+b)•c=a•c+b•c③性质：设a,b是非零向量，贝【J：a・b=0Oa丄bcr与b同向时，a•b=IaI•IbIa与b反向吋，a•IaI•IbI特殊地：a・a=丨a丨$或"

5、=a夹角：cos

6、Q・b

7、W

8、a

9、b3.向量的坐标运算若在平面直角坐标系下,a=(xi，yd，b=(X2,y2)⑴加法：a+b=(x1+x2fyi+/2)⑵减法：a—b=(x1—x2f力一力)⑶数乘：Aa=(2x1,2加)⑷数量积:a•b=x1x2+yiy2(5)若a=(x,y)

10、,贝麻。

11、二厶亍+才(6)若o=(xi，从b=(X2,力)，则—'山需r肩蛙晋7Fa-bxix2-^yly2⑺若A(xlfyd，B(X2，y2)»贝麻AB

12、二J(%i-勺尸+(必一力尸(8)a在b方向上的正射影的数量为

13、a

14、cos=1.重要定理(1)平行向量基本定理：若a=/lb,则a〃b,反之：若a〃b,且bHO,则存在唯一的实数2使得a=2b(2)平面向量基本定理：如果®和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a,存在唯一的—对实数5,7使a=a1e1+a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下,a=(

15、xi，力)，b=(X2，y2)贝】J：a//b<^>x1y2—x2yi=Ofa丄b<^>x1x2+yiY2=0(4)若a=(x”yi),b=(X2，力)，例1向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有()个(1)(6•c)a—(c・a)b与c垂直，⑵若a•c=b•c,则a=b,(3)(a•b)c=a(b•c),(4)a•bWIaIIbIA.0B-1C-2D・3cd(a+b),则c=(已知向量a=(1,2),b=(2,—3).若向量c满足(c+a)〃b,A.b.(-2,-2)39C.3977、例3⑴已知向量04二伙,12),OB=(4,

16、5),OC=(-R,10),且&、B、C三点共线，求实数k的值.(2)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka~2b与a垂直，求实数k的值.例4己知：丨aI=2,IbI=5,〈a,b〉=60°,求：①a・b；②(2a+b)・b；③丨2a+bI；④2a+b与b的夹角&的余弦值例5已知向量a=(sin&,cos&—2sin&),b={l,2).(I)若a〃b,求tan&的值;(II)若IaI=IbI,0<6>

17、l-V2例7在△ABC,已知2亦•況=的

18、乔

19、.

20、疋

21、=3BC2,求角A,B,C的大小.练习6-1一、选择题1.平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为零向量C.32eR,b=2aD.存在不全为零的实数/h，/h，A1a+A2b=O2.已知平面向量a=(l»一3),b=(4,—2),Aa+b与a垂直，则2是()A.一1B・1C.-2D.2^BC=2ADf则顶点3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),8(-1,—2),C(3,1),D的坐标为(7A・(2三)B(2冷)C.(3,2)D・(1,3)4.设△A

22、3C的三个内角儿B,C,向量m=(VJsinA,sinB).n-(cosB,V3cosA),若mw=l+co