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1、第5章平面向量与复数§5.1平面向量的概念与线性运算【知识梳理】1.向量的有关概念名称定义备注向量既冇①又冇②的量：向量的大平面向量是自由向量小叫做向量的③(或④)零向■if长度为⑤的向量；其方向是任意的记作⑥单位向量长度等于⑦的非零向量a的单位向量为土a/
2、a
3、平行向星方向⑧或⑨的非零向量0与任一向量⑪或共线共线向量⑩向虽又叫做共线向量相等向量长度⑫且方向⑬的向量相反向暈长度⑭方向⑮的向址0的相反向量为02.向量的表示方法(1)字母表示法：如a,乔等.⑵几何表示法：用一条⑯表示向量3.向量的线性运算向量运算定
4、义法则(或儿何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a+b=®■⑰法则a⑱法则(2)结合律:(a+b)+c=⑳.减法求4与〃的相反向量一方O法则a~b=a+(—b)的和的运算叫做“与&的差数乘求实数久与向量“的积的运算(1)
5、加
6、=22.(2)当2>0时，加与a的方向23；当久<0时，加与a的方向妙;当2=0时,加=25■9(久+心=27■2(“+〃)=23■答案：①大小②方向③模④长度⑤零⑥0⑦1个单位长度⑧相同⑨相反⑩方向相同或相反⑪平行⑫相等⑬相同⑭相等⑮相反⑯有向线段⑰三角形⑱平行四边形⑲b+
7、a⑳a+(b+c)◎三角形22
8、?i
9、
10、a
11、Z3相同妙相反00uaZ7Xa+ua入a+入b【课前自测】1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③肋=0(久为实数)，则久必为零；④久，“为实数，若加=",则“与b共线.其中错误命题的个数为A.1B.2C.3D.4答案：C提示：①错，两向量共线要看其方向，而不是起点与终点；②对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错，当时，不论2为何值，肋4.（2013
12、福州二模）如图所示，D是的边昇B上的中点，则向量CD等于（）・•・CD=CB+BD=一BC+5.（2013庆阳一模）已知Q,〃是不共线的向=0④错，当A=//=0时，Xa=/.ih,此时，a与b可以是任意向量.1.（2013•孝感统考）已知非零向量＜/,b,c满足q+〃+c=0,向量q,〃的夹角为60。,且b=a=1,则向量4与C的夹角为（）A.60°B.30°C.120°D.150°答案：D提示：Ta+b+c=0,•"=-(“+方)，J.
13、c
14、2=(a+h)2=a2+h2+2ab=2+2cos60°
15、=3,又ca=-(a+b)a=-a2-ah=-1-cos60°=-刁设向量C与a的夹角为&,则=厂A.-BC+^BAB.—BC—bAD.BC+如答案：A一f1〜提示：TD是昇3的中点，^BD=^BA.7T],・・・沪150。・1.中，点D在边力3上,CD平分Z4CB.量,若JC=a+/t2*（2pA2eR）,则/、B、C三点共线的充要条件为.答案：“2—1=0若CB=(i,C4=b,14=1,01=2,则CD=提示：（4、巧C三点共线^ABIIAC^ma221B•亍"+亍"-1X1=002/2=1.C.Ta+
16、~bD0【课标示例题】答案：B提示：由内角平分线定理，得昙J=営暮=2.C4+
17、/3=•••CD=CA+AD==
18、cB+*C4母+如.故B正确.［例1】平面向量的基本概念给出下列命题:①已知久，“WR,贝iJU+“）a与“共线；②向量“与向量方平行，则“与〃的方向相同或相反；③向量丽与页是共线向量，则/、B、C、D必在同一直线上；_聖曙形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC；⑤已知/、B、C是不共线的三点，O是44BC内的一点，:^OA+OB+OC=0，贝ljO&/ABC的重心;⑥O是平而内一定点，A.
19、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足OP=OA+A(ABAC2e[0,+8),则点p的轨迹一定通过的内心.其中正确命题是(填命题的序号).解析：①由实数与向量的积，可知其正确.②若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确.③乔"乙万，MB和CD可以共线，也可以平行，故不正确.④若四边形ABCD是平行四边形，所以~AB=~DC若四边形ABCD中，~AB=DC.所以四边形ABCD是平行四边形，故正确.⑤因为OA+OB+OC=0,所以OA=-(OB^OC),即亦+0D是与勿方向相反且长度相等的向量.如图所示，
20、以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD,^]OD=OB+OC,所以OD=~OA,在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于E,则BE=EC,OE=ED.所以力疋是厶ABC的边3C的中线，且OA=2OE.所以0是的重心，故正确.⑥豐_与二^分别表示乔与花方向的单期AC位向量，设它们分别为丽与疋，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形ABfP'C,乔平分ABAC,APf
