51平面向量的概念及线性运算

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1、第五章平面向§5.1基础知识平面向量的概念及线性运算自主学习要点梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大平面向量是自由向量小叫做向量的（或称）零向量长度为的向量；其方向是任意的记作单位向量长度等于的向量非零向量《的单位向量为平行向量方向或的非零向量的非零向®又叫做共缝0与仟一向景成共线共线向量向量相等向S长度_且方向的向W:两向y:只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向董运算定义法则（或儿何意义）运算律加法求两个向呈和的运算a法则(1)交换律••

2、a~~b=參^7a法则(2)结合律：(a+b)+c=•减法求6T与6的相反向量一為的和的运算叫做《与6的差XVa法则a—b=a+(—b)数乘求实数2与向量Z的积的运算（}Aa-:（2）当义〉0时，；的方向与Z的方向；当义＜0时，A6Z的方向与U的方向；当2=0时，Aa=2(/na

3、同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.2.向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.基础自测1.（课本改编题）化简+的结果为.2.在平行四边形ABCZ）屮，£为DC边的屮点，且AD=b,则3=.3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量：④相等向量一定共线

4、.其中不正确命题的序号是.4.已知D为三角形ABC边衫C的中点，点P满足^+^+Z^=0，AP=^PDf则实数＞1的值为.5.己知O是AABC所在平而内一点，D为边中点，且2^+^+&=0,那么（）A.AO=ODB.AO=2OD题型分类•深度剖析题型一平面向量的概念辨析【例1】给出下列命题:—>—>①若a—b，则a=b•，—>③fZ=/7的充要条件是a=b②若a=b，b=c，则a=c;fi□/?.④若A,B，C,D是不共线的四点，则3=&是四边形为平行四边形的充要条件；其中正确命题的序号是.探究提高(1)正确理解向

5、呈的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向呈是相等向量.解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈.(5)非零向量6/与—>M•—>aaaa是6Z方向上的单位向量.变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.—>—>⑵若a—b—>—>⑶若ab，则与的长度相等且方肉相同或相反；(，且“与方向相同，则＜2=/?;a>b(1)若“与同向，且，则6/〉/?;(4)由于零向量的方向不确定，故零

6、向量不与任意向量平行；((5)若向量a与Z?平行，贝1J向量的方向a与6相同或相反;((6)若向量3与向量是共线向量，则A,B，C,四点在一条直线上；()(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；()(8)任一向量与它的相反向量不相等.()题型二向量的线性运算E【例2】如图，在ZVIBC中，ZX£分别为BC、AC边上的中点,—►—►->G为BE上一点，JLGB=2GEf设AC=b,试用_—>—►a，/?表示AZ),AG.探究提高(1)解题的欠键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互欠系，能熟练地找出图形

7、中的相等向量，并能熟练运川相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.变式训练2如图，在△ABC中，£、F分别为AC、的―►—>—►—>中点，与CF相交于G点，设AB=6/,AC=b,试用_—►a，表示AG.题型三平面向量的共线问题【例3】设两个非零向量3与不共线，—>—►—>—>/—>—>、(1)若AB=a+b，BC=2a+8b,CD=3a-b，求证：4、B、£>三点共线;—>—>—>—>(2)试确定实数々

8、，使和“+々/?共线.探宄提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的'区别与联系，当两向量共线且有公共点吋，才能得出三点共线.—————(2)向量《、共线是指存在不全为零的实数七岑，使/^，+牟/?=0成立，若———=当且仅当4=牟=0时成立，则向量U、不共线.变式训练3如图所示，AABC中，在AC上取一点;V，使得/W=1a