多元函数的微分法

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1、第七章多元函数的微分法前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.§7.1多元函数的基本概念一、二元函数及其图形在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系，举例如下：例1任意三角形的面积S与底x高y有下列关系:S=底与高可以独立取值，是两个独立的变量(称为自变量)。在它们的变化范围内，当的值取定后，三角形的面积就有一个确定的值与之对应。例2从物理学中知道，理想气体的体积V与绝对温度T、压强P之间有下列关系:T,P可以独立取值，是两个独立的变量

2、，在它们的变化范围内，当T,P的值取定后，体积V就有一个确定的值与之对应。以上两个例子的具体意义虽然不同，但却具有一个共同的特征，抽去它们的共性，就得到二元函数的定义如下：定义1设有三个变量x、y、z，若对于变量x、y在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z称为x、y的二元函数，记作z＝f（x，y）。称x、y为自变量，z为因变量。自变量的变化范围称为函数的定义域。当自变量x、y分别取值x0、y0时，因变量z的对应值z0称为函数z＝f（x，y）的当x=x0，y=y0时的函数值，记作z0=f（x0、y0）。类似地，可以定义三

3、元函数以及三元以上的函数。二元以及二元以上的函数都称为多元函数。注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域的边界。不包括边界的区域叫做开区域，连同边界在内的区域叫做闭区域。如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的。如果区域总可被包围在一个以原点为中心而半径适当大的圆内，则称此区域是有界的。易见,例1、例2中函数的定义域都是无界的。例3求函数的定义域。解此函数的定义域满足不等式因此函数的定义域是以原点为圆心,以a为半径的圆且包括圆周。它是一个有界闭区域。例4求函数的定义域。解：显然要使得上式有意义。必须满足。此函数的定义域是在

4、x轴上方抛物线y=x2下方的区域。它是一个无界区域。例4求函数的定义域。解：此函数的定义域为，即位于直线上部的半平面，不包含直线本身。这是一个无界区域，见图的阴影部分。二元函数的图形：一元函数在平面直角坐标系中一般表示一条曲线。对于二元函数，根据上一章学习的空间曲面的知识不难想象出它在空间直角坐标系中的图形。设的定义域为平面上的某一区域。当自变量在内取定一组数，即在区域内选定一个点时，因变量必有一确定的值与之对应。于是这三个有实数就确定了空间一个点。一般说来，当点在定义域内变动时，对应点的全体便形成一个空间曲面，这个曲面就叫做二元函数的图形。如例3中二元函数的图形就是

5、以原点为球心，以a为半径的上半球面。二、二元函数的极限与连续定义2设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的附近有定义，如果当动点P（x，y）以任何方式趋向于点P0（x0，y0）时（即时），函数f（x，y）总是无限接近于一个固定的数A。那么，我们就说函数f（x，y）当点P（x，y）趋向于P0（x0，y0）时极限存在，A就叫做函数当P（x，y）趋向于P0（x0，y0）时的极限，记作【注】二元函数自变量有两个,因此自变量的变化过程要比一元函数复杂得多。类似于一元函数的连续性定义，我们给出二元函数连续性的定义。定义3若二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）及其附

6、近有定义，且则称函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续。若函数在平面区域D内每一点都连续，就说函数在区域D内是连续的。【注】与一元函数类似，二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍是连续函数。分别由x，y的基本初等函数及常数经过有限次四则运算与复合步骤而构成的一个数学式子叫做二元初等函数。例如，等都是二元初等函数。关于二元初等函数有以下结论。一切二元(包括多元)初等函数在其定义域内是连续的。§7.2偏导数与全微分主要问题：讨论函数的变化率问题。由于二元函数有两个变量，所以自变量的变化有两种情况：一种是一个变化，另一个保持不变；另一种是两个同时变化。

7、本节对两种情况分别进行讨论。一、偏导数偏增量的定义：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）及其附近有定义，当y固定在y0，而x在x0有增量时，相应地函数有增量，这个增量叫做函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对x的偏增量，记作。偏导数的定义：作偏增量与自变量的增量，并令若比值的极限存在，则此极限就叫做函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对x的偏导数，记作或，即=类似可得函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对y的偏增量：。若存在，则这个极限叫做函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）对y的偏导数，记作或，即=偏导函数的定义：若