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《2016届高三数学人教a版一轮复习基础巩固强化：第9章 第8节用向量方法求角与距离(理)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九章 第八节一、选择题1．(2014·新课标全国Ⅱ理)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为( )A． B．C． D．[答案] C[解析] 解法1：补成正方体ACBD－A1C1B1D1，取AD的中点E，连ME，可知四边形AEMN为平行四边形，∴ME∥NA．∴∠BME为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝1，在△BME中，ME＝BE＝，BM＝，∴cos∠BME＝＝.解法2：由条件知，CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，
2、CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，∴M(，，1)，N(，0,1)，∴＝(，－，1)，＝(－，0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝，故选C．[点评] 求异面直线所成角的关键是建立恰当的空间直角坐标系，请练习下题：(2014·河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为( )A．1 B．C． D．[答案] A[解析] 设线段A1B1，AB的中点
3、分别为O，D，则OC1⊥平面ABB1A1，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，，0)，∴＝(2,0，－)，＝(－1，，－)，因为·＝(2,0，－)·(－1，，－)＝0，所以⊥，即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1，故选A．2．(2014·宁夏银川调研)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于( )A． B．C． D．[答案] A[解析] 方法一：取A1C1的中点
4、E，连接AE，B1E，如图．由题易知B1E⊥平面ACC1A1，则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角．设正三棱柱侧棱与底面边长为1，则sin∠B1AE＝＝＝.方法二：如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A(，0,1)，B1(0，，0)，∴＝(－，，－1)，＝(0，，0)．设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1为平面ACC1A1的法向量．则sinθ＝
5、cos〈，〉
6、＝
7、
8、＝.3．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中
9、点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )A． B．C． D．[答案] C[解析] 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，＝(a，a,0)，＝(0,2a,2a)，＝(a，－a,0)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，由⇒⇒⇒n1＝(1，－1,1)．sinθ＝＝＝.4．(2014·福建泉州二模)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )A． B．C． D．[答案] D[解析] 建立如图所示的空间直角坐
10、标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴＝(2,0,0)，＝(2,0,2)，＝(2,2,0)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离是d＝＝＝.[点评] 一、空间的距离1．两点间的距离：连结两点的线段的长度．2．点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．3．点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．4．平行直线
11、间的距离：从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．5．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．6．直线与平面间的距离：如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．7．两平行平面间的距离：两个平面的公垂线段的长度．二、求距离的方法1．综合几何方法①找出或作出有关距离的图形；②证明它符合定义；③在平面图形内计算．空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．2．向量法(1)求直线到平面的距离设直线a∥平面α，A
12、∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则∥n，∵·n＝(＋)·n＝·n，∴
13、·n
14、＝
15、
16、·
17、n
18、.∴直线a到平面α的距离d＝
19、
20、＝.(2)求两平行平面间的距离①用公式d＝求，n为两平行平面的一个法向
