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《2016届高三数学北师大版一轮复习基础达标检测:第8章 第9节立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离(理)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章 第九节一、选择题1.在如图所示的正方体A1B1C1D1-ABCD中,E是C1D1的中点,则异面直线DE与AC夹角的余弦值为( )A.-B.-C.D.[答案] D[解析] 因为A1B1C1D1-ABCD为正方体,所以以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设棱长为1,则=(0,,1),=(-1,1,0),故cos<,>===,故选D.2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且
2、
3、=1,
4、
5、=2,
6、
7、=3,则
8、
9、=( )A.5B.6C.4D.8[答案] A[解析] 由题知=++,则
10、
11、
12、2=
13、AB++
14、2=12+22+32+2·+2·+2·=14+2×1×2×+2×1×3×+2×2×3×=25,所以
15、
16、=5.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 该题考查正方体的性质,直线与平面所成的角,考查坐标法.建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,设棱长为1,=(0,0,1),平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1),∴cos〈,n〉==,∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则异面直线CE与
17、BD所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°[答案] D[解析] 以D点为原点,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则相关点的坐标为C(0,1,0),E(,,1),B(1,1,0),D(0,0,0),∴=(,-,1),=(-1,-1,0).∴·=-++0=0.∴⊥,即CE⊥BD.5.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于( )A.4B.2C.3D.1[答案] B[解析] =(-1,3,2),
18、
19、==,
20、cos<,n>
21、=
22、
23、=
24、
25、=.d=×
26、=2.6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 解法1:取BC中点E,连接AE、A1E,过点A作AF⊥A1E,垂足为F.∵A1A⊥平面ABC,∴A1A⊥BC,∵AB=AC.∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF,又AF⊥A1E,∴AF⊥平面A1BC.∴AF的长即为所求点面距离.AA1=1,AE=,∴AF=.解法2:VA1-ABC=S△ABC·AA1=××1=.又∵A1B=A1C=,在△A1BE中,A1E==2.∴S△A1BC=×2×2=2.∴VA-A1
27、BC=×S△A1BC·h=h.∴h=,∴h=.∴点A到平面A1BC距离为.解法3:设BC中点为O,∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC,以O为原点,直线AO,BC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系,则B(0,-1,0),C(0,1,0),A(-,0,0),A1(-,0,1).设n=(x,y,1)为平面A1BC的一个法向量,则,∴,∴,∴n=,又=(0,0,1),∴A到平面A1BC的距离d==.二、填空题7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________.[答案] [解析] 如图建立直
28、角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件A(1,0,0),E(0,,1),B(1,1,0),C(0,1,0),=(-1,,1),=(-1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为θ.cosθ=
29、cos<,>
30、==.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________.[答案] [解析] 如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),∴=(0,2,0),设平面A1BC1的一个法向量为n=(x,y,z),由,得,令y
31、=1,得n=(2,1,2),设D1C1与平面A1BC1所成角为θ,则sinθ=
32、cos<,n>
33、===.即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.9.已知PD⊥正方形ABCD所在平面,PD=AD=1,则点C到平面PAB的距离d=________.[答案] [解析] 以D为原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),∴=(-1,0,1),=(0,1,0),=(-1,1,0),=(0,-1,1).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),∴
34、,即令x=1,则z=1,∴n=(1,0,1).∴d===.三、解答题10.如图,