一轮复习配套义：第7篇第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离

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1、第8讲　立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离[最新考纲]1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知识梳理1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β.则sinθ＝

2、cosβ

3、＝.3．求二面角的大小(1)如图①，A

4、B，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝<，>.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

5、cosθ

6、＝

7、cos

8、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．4．利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则

9、AB

10、＝

11、

12、＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为

13、

14、＝.辨析感悟1．

15、直线的方向向量与平面的法向量(1)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(×)(2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(×)(3)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a∥c，a⊥b.(√)2．空间角(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(√)(5)(2014·济南调研改编)已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos＝－，则l与α所成的角为150°.(×)(6)已知两平

16、面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(×)(7)(2013·上海卷改编)在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°.(√)[感悟·提升]1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．2．两种关系一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异

17、面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2)．二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).学生用书第129页考点一　求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积．(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．解

18、　(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝＝2，CD＝2，所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.图1(2)法一　如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由于EF＝，AF＝，AE＝PC＝2.则△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.图2法二　如图2，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2，0)，E(1，，1)，

19、＝(1,，1)，＝(0,2，0)．设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以θ＝.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.规律方法本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cosβ＝.【训练1】如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)．　　　　　　　　　　　　

20、　　　　　　A.B.C.D.解析　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，∴cos<，>＝＝＝＝>0.∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案　A考点二　利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】(2013·湖南卷)如图