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1、8.8立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离一、选择题1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )．A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．答案 C2．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B
2、的中点，则
3、
4、为( )．A.aB.aC.aD.a解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴
5、
6、＝＝a.答案 A3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为( )．A.B.C.D.解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)
7、，cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝，答案 B4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.B.C.D．3解析两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝
8、·n0
9、＝.答案 B5．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )．A．2B.C.D．1解析 如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝.答案 C6．正方体ABCD-
10、A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为( )．A．30°B．120°C．60°D．90°解析 如图建立直角坐标系Dxyz，设DA＝1，由已知条件G，B，E，F，＝，＝cos〈，〉＝＝0，则⊥.答案 D7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为( )A.B.C．2D.解析如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1
11、,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．则⇒，令z＝－1，得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.答案：A二、填空题8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________．解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图)
12、，设＝λ，可得P(λ，λ，λ)，再由cos∠APC＝可求得当λ＝时，∠APC最大，故VP－ABC＝××1×1×＝.答案9．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________．解析设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，根式内的二次函数当m＝－＝时取最小值2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a.答案a10．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)
13、且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.解析 由已知得＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.答案 －2或11．正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．解析 如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P.则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝.∴〈，n〉＝60°，∴
14、直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.答案 30°12．已知点E、F分别在正方体ABCDA1B
