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时间:2018-12-24
《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质学业分层测评 新人教b版选修2-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2椭圆的几何性质(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.焦点在x轴上,短轴长为8,离心率为的椭圆的标准方程是( )A.+=1 B.+=1C.+=1D.+=1【解析】 由题意知2b=8,得b=4,所以b2=a2-c2=16,又e==,解得c=3,a=5,又焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1,故选C.【答案】 C2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为( )A.B.C.D.【解析】 由题意知a=2c,∴e===.【答案】 A3.曲线+=1与+=1(02、等的焦距,不同的焦点D.以上都不对【解析】 曲线+=1的焦距为2c=8,而曲线+=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8,但由于焦点所在的坐标轴不同,故选B.【答案】 B4.已知O是坐标原点,F是椭圆+=1的一个焦点,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点,则cos∠MON的值为( )【导学号:15460032】A.B.-C.D.-【解析】 由题意,a2=4,b2=3,故c===1.不妨设M(1,y0),N(1,-y0),所以+=1,解得y0=±,所以3、MN4、=3,5、OM6、=7、ON8、==.由余弦定理知cos∠MON===-.【答案】 B5.如图224,直线l:x-2y+2=0过椭9、圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为( )图224A.B.C.D.【答案】 D二、填空题6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C、D的椭圆的离心率为________.【解析】 如图,AB=2c=4,∵点C在椭圆上,∴CB+CA=2a=3+5=8,∴e===.【答案】 7.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点,则kAB·kOM=________.【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则中点坐标M,得kAB=,kOM=,kAB·kOM=,b2x+a2y=a2b2,b2x+a2y=a2b2,得b2(10、x-x)+a2(y-y)=0,即=-.【答案】 -8.已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是________.【解析】 因为P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,所以m2+=1,即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2,又-1≤m≤1,所以1≤2-m2≤2,所以1≤m2+n2≤2.【答案】 [1,2]三、解答题9.(1)求与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.【解】 (1)∵c==,∴所求椭圆的焦点为(-,0),(,011、).设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0).∵e==,c=,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求椭圆的方程为+=1.(2)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0),∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为+=1.10.设椭圆+=1(a>b>0)与x轴交于点A,以OA为边作等腰三角形OAP,其顶点P在椭圆上,且∠OPA=120°,求椭圆的离心率.【解】 不妨设A(a,0),点P在第一象限内,由题意知,点P的横坐标是,设P,由点P在椭圆上,得+=1,y2=b2,即P,又∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故tan∠POA==12、,所以a=3b,所以e====.[能力提升]1.(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )A.B.-1C.2-D.【解析】 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意得13、PF214、==2c,即=2c,得离心率e=-1,故选B.【答案】 B2.“m=3”是“椭圆+=1的离心率为”的( )【导学号:15460033】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 椭圆+=1的离心率为,当04时,=,得m=,即“m=315、”是“椭圆+=1的离心率为”的充分不必要条件.【答案】 A3.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是________.【解析】 由=2,得16、AO17、=218、FO19、(O为坐标原点),即a=2c,则离心率e=.【答案】 4.已知点A,B分别是椭圆+=1的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长
2、等的焦距,不同的焦点D.以上都不对【解析】 曲线+=1的焦距为2c=8,而曲线+=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8,但由于焦点所在的坐标轴不同,故选B.【答案】 B4.已知O是坐标原点,F是椭圆+=1的一个焦点,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点,则cos∠MON的值为( )【导学号:15460032】A.B.-C.D.-【解析】 由题意,a2=4,b2=3,故c===1.不妨设M(1,y0),N(1,-y0),所以+=1,解得y0=±,所以
3、MN
4、=3,
5、OM
6、=
7、ON
8、==.由余弦定理知cos∠MON===-.【答案】 B5.如图224,直线l:x-2y+2=0过椭
9、圆的左焦点F1和一个顶点B,该椭圆的离心率为( )图224A.B.C.D.【答案】 D二、填空题6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C、D的椭圆的离心率为________.【解析】 如图,AB=2c=4,∵点C在椭圆上,∴CB+CA=2a=3+5=8,∴e===.【答案】 7.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点,则kAB·kOM=________.【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),则中点坐标M,得kAB=,kOM=,kAB·kOM=,b2x+a2y=a2b2,b2x+a2y=a2b2,得b2(
10、x-x)+a2(y-y)=0,即=-.【答案】 -8.已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是________.【解析】 因为P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,所以m2+=1,即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2,又-1≤m≤1,所以1≤2-m2≤2,所以1≤m2+n2≤2.【答案】 [1,2]三、解答题9.(1)求与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.【解】 (1)∵c==,∴所求椭圆的焦点为(-,0),(,0
11、).设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0).∵e==,c=,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求椭圆的方程为+=1.(2)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0),∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为+=1.10.设椭圆+=1(a>b>0)与x轴交于点A,以OA为边作等腰三角形OAP,其顶点P在椭圆上,且∠OPA=120°,求椭圆的离心率.【解】 不妨设A(a,0),点P在第一象限内,由题意知,点P的横坐标是,设P,由点P在椭圆上,得+=1,y2=b2,即P,又∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故tan∠POA==
12、,所以a=3b,所以e====.[能力提升]1.(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )A.B.-1C.2-D.【解析】 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意得
13、PF2
14、==2c,即=2c,得离心率e=-1,故选B.【答案】 B2.“m=3”是“椭圆+=1的离心率为”的( )【导学号:15460033】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 椭圆+=1的离心率为,当04时,=,得m=,即“m=3
15、”是“椭圆+=1的离心率为”的充分不必要条件.【答案】 A3.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是________.【解析】 由=2,得
16、AO
17、=2
18、FO
19、(O为坐标原点),即a=2c,则离心率e=.【答案】 4.已知点A,B分别是椭圆+=1的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长
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