高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质自我小测 新人教b版选修2-1

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1、2.2.2椭圆的几何性质自我小测1．已知k＜0，则曲线＋＝1和＋＝1有相同的(　　)A．顶点B．焦点C．离心率D．长轴长2．椭圆的对称轴为坐标轴，若它的长轴长与短轴长之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1　B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1　D.＋＝13．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是(　　)A.＋y2＝1B.＋y2＝1或x2＋＝1C．x2＋4y2＝1D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝164．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　

2、)A.B.C.D.5．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为(　　)A．0B．2C．3D．46．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于______．7．已知椭圆的一个焦点将长轴分成长度比为∶的两段，则其离心率e为__________．8．在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程为__________．9．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点，且离心率e＝，求此椭圆的方程．10．已知椭圆的焦点在x轴上，椭圆上一点的横坐标等于右焦点的横坐标，且纵坐标的长

3、等于短半轴长的，求该椭圆的离心率．11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．参考答案1．解析：c21＝9－4＝5，且焦点在x轴上；c22＝(9－k)－(4－k)＝5，且焦点在x轴上．答案：B2．答案：C3．解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝，所以c＝.所以b2＝a2－c2＝1.所以方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4；若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝，所以＝1－＝，所以a2＝4b2＝16.所以方程为

4、＋＝1，即4x2＋y2＝16.答案：D4．解析：依题意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，所以4b2＝a2＋2ac＋c2.因为b2＝a2－c2，所以4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，所以3a2－2ac－5c2＝0，两边同除以a2，即有5e2＋2e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选B.答案：B5．解析：因为·＝0，所以PF1⊥PF2.所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.又b＝2，所以点P为短轴的两个端点．答案：B6．解析：椭圆的焦距长等于它的短轴长，即2b＝2c，则有a2＝b

5、2＋c2＝2c2，解得a＝c，所以e＝＝.答案：7．解析：由题意，得(a＋c)∶(a－c)＝∶，即＝，解得e＝5－2.答案：5－28．解析：如图，根据题意可知F1B1⊥F1B2，

6、OF1

7、=3.可知

8、OB2

9、=

10、OB1

11、=3，所以b=c=3，a2=b2+c2=18.所以椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝19．分析：由椭圆的离心率可得a，c的关系，从而知道b，c的关系，再由点在椭圆上，代入方程即可求得椭圆的标准方程．解：由题意知椭圆的离心率e＝＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1.又点在

12、椭圆上，所以＋＝1，所以c2＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.10．解法一：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．依题意设M点坐标为，在Rt△MF1F2中，

13、F1F2

14、2＋

15、MF2

16、2＝

17、MF1

18、2，即4c2＋b2＝

19、MF1

20、2，所以

21、MF1

22、＋

23、MF2

24、＝＋b＝2a.整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，＝，所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.解法二：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知条件设M，将点M代入椭圆方程得＋＝1，所以＝，＝，即e＝.11．(1

25、)解：不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由余弦定理得cos60°＝＝，所以

26、PF1

27、·

28、PF2

29、＝4a2－2

30、PF1

31、·

32、PF2

33、－4c2，所以3

34、PF1

35、·

36、PF2

37、＝4b2，所以

38、PF1

39、·

40、PF2

41、＝.又因为

42、PF1

43、·

44、PF2

45、≤2＝a2，所以3a2≥4(a2－c2)，所以≥，所以e≥.又因为椭圆中0＜e＜1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是≤e＜1.(2)证明：由(1)可知

46、PF1

47、·

48、PF2

49、＝b2，＝

50、PF1

51、·

52、PF2

53、sin60°＝×b2×＝b2.所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．