高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质学案新人教b版选修2

《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质学案新人教b版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.2.2　椭圆的几何性质1．掌握椭圆的几个性质．2．掌握椭圆的标准方程中a，b，c，e的几何意义及其之间的相互关系．焦点在x轴、y轴上的两类椭圆的几何性质与特征比较：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程____________________________范围__________________________顶点______________________________轴长长轴长为______，短轴长为______焦点________________焦距______________对称性对称轴为________，对称

2、中心为______离心率______________，其中c＝______________(1)判断曲线关于原点，x轴，y轴对称的依据．若把方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称．若把方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称．若把方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．(2)椭圆的顶点是它与对称轴的交点．【做一做1－1】椭圆＋＝1的长轴长为(　　)A．5B．3C．6D．12【做一做1－2】椭圆＋＝1的离心率为______．椭圆的离心率剖析：(1)椭圆的半焦距与长半轴长的比，称作椭圆的离心率．记作

3、e＝.(2)因为a＞c＞0，所以离心率e的取值范围是0＜e＜1.离心率的大小对椭圆形状的影响：①当e趋近于1时，c趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平；②当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近于圆．椭圆与圆是两种不同的曲线，因此椭圆的离心率满足不等式0＜e＜1.当e＝0时，曲线就变为圆了．题型一利用椭圆的方程研究其几何性质【例1】分别求出椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴的长，离心率，焦点坐标和顶点坐标．分析：把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a，b，c，即可求出答案．反思：已知椭圆的方程讨论其性质时，

4、应先将方程化成标准形式，找准a与b，求出c，才能正确地得出椭圆的有关性质．题型二利用性质求椭圆的方程【例2】已知＋y2＝1(a＞0，a≠1)表示离心率为的椭圆，求椭圆的标准方程．分析：椭圆的焦点不知在哪个轴上，所以需要分两种情况来讨论，再由e＝即可求得．反思：在求椭圆的标准方程时，首先要分清焦点在哪个坐标轴上，然后利用条件求出a2.本题所给方程中的a与椭圆标准方程中的a不同．题型三椭圆几何性质的应用【例3】已知椭圆的中心在原点，离心率为，F为左焦点，A为右顶点，B为短轴一顶点，求∠ABF的余弦值．分析：已知离心率为，即＝，即a＝c，再

5、由a，b，c的关系可得b＝c，在△ABF中，由余弦定理可求得结果．反思：知道离心率就知道a，b，c中任意两个字母间的关系．1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标为(　　)A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)2．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有(　　)A．相同短轴B．相同长轴C．相同离心率D．以上都不正确3．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆的标准方程是(　　)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1或＋＝1D．＋＝14．(2012·浙江名校联考，文9)已知P是椭

6、圆＋＝1(a＞b＞0)上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆离心率为(　　)A．B．C．D．5．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为__________．6．椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．答案：基础知识·梳理1．＋＝1(a＞b＞0)　＋＝1(a＞b＞0)　－a≤x≤a，－b≤y≤b　－a≤y≤a，－b≤x≤b　A1(－a,0)，A2(a,0)　B1(0，－b)，B2(0，b)　A1(0，－a)，A2(0，a)　B1(－b,0)，B2(b,0)　2a　2b　(±c,0)　(0，±c)　2c(c2

7、＝a2－b2)　x轴，y轴　原点　e＝∈(0,1)　【做一做1－1】D　椭圆的长轴长为2a，由方程可知a＝6，所以2a＝12.【做一做1－2】典型例题·领悟【例1】解：将椭圆方程变形为＋＝1，由方程知a＝5，b＝4，所以c＝3，所以长轴长为10，短轴长为8.离心率e＝＝，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0)．【例2】解：当焦点在x轴上，即a＞1时，由b＝1，得c＝，所以＝，解得a2＝，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上，即0＜a＜1时，由题

8、意得c＝，所以＝，解得a2＝，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.【例3】解：设长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则有＝，即a＝c，又∵b2＝a2－c2，∴b＝c，∴

9、AB

10、＝＝c，

11、BF

12、＝a＝c，

13、AF

14、＝a＋c＝