高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程学案（含解析）新人教a版必修2

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1、3．2.3　直线的一般式方程学习目标　1.掌握直线的一般式方程；2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线；3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一　直线的一般式方程思考1　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？答案　能．思考2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案　一定．思考3　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？答案　当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0得，y＝－x－，所以该方

2、程表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，由Ax＋By＋C＝0得x＝－，所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为0知识点二　直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一　直线一般式的性质例1　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________.(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.答案　(1)－　(2)－2解析　(1)令y＝0，则x＝，∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．∴m＝－.(2)由直线l化为斜截式方程得y＝

3、x＋，则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.反思与感悟　(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程注意验根．跟踪训练1　(1)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足________．答案　a≠－2解析　由得a＝－2，∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，∴a≠－2.(2)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，①若l在两坐标轴上的截距相等，求a；②若l

4、不经过第二象限，求实数a的取值范围．解　①令x＝0，则y＝a－2，令y＝0，则x＝，∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝，得a＝2或a＝0.②由①知，在x轴上截距为，在y轴上的截距为a－2，∵得a<－1或a＝2.类型二　判断两条直线的位置关系例2　判断下列直线的位置关系：(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0；(2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0；(3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0.解　(1)直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0，由题意知＝≠，∴l1∥l2.(2)由题意知＝＝，∴l1与l2重

5、合．(3)由题意知，当a＝－1时，l1：y＝5，l2：x＋2＝0，∴l1⊥l2.当a≠－1时，≠，故l1不平行于l2，又(－a－1)×2＋(2a＋2)×1＝0，∴l1⊥l2，综上l1⊥l2.反思与感悟　(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练2　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1

6、－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？解　方法一　(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.当l1⊥l2时

7、，k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，∴a＝－1.综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.方法二　(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.∴m的值为2或－3.(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意．故当a＝1或a＝－