高一数学 2.4反函数（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料一、反函数的学习因反函数是函数知识中重要的一部分内容，我们若能从函数的角度去理解反函数的概念，则一定能从中发现反函数的本质，并能顺利地应用函数与其反函数间的关系去解决相关问题.1.明确“函数与反函数”的关系(1)一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的映射是从定义域到值域上的一一映射.(2)对于任一函数f(x)不一定有反函数，如果有反函数，那么原函数f(x)与它的反函数是互为反函数.(3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域.(4)一般的偶函数不存在反函数，奇函数不一定存在反函数.(5)原函数与其反函数在对应区间上的单调性

2、是一致的.2.深入学习对“反函数”的求法[例]求下列函数的反函数(1)y＝(2)y＝（1）分析：由于a、B不定，故须分类讨论：当a＝0，b≠0时，y＝－1，此时不存在反函数当a≠0，b＝0时，y＝1（x≠0），此时不存在反函数.当a≠0，b≠0时，函数y＝的值域是y∈{y∈R｜y≠1}由y＝解得：x＝(a≠0，y≠1)∴当a≠0，b≠0时，函数y＝的反函数是：y＝（x≠1）评述：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件.（2）分析：求分段函数的反函数时，先在各段求出相应的反函数，再将其合并.解：当x≥0时，y＝x2＋2x＝（x＋1）2－1∴

3、x＝－1＋∵x≥0∴y＝x2＋2x≥0∴当x≥0时，此段函数的反函数是y＝－1＋（x≥0）当x＜0时，y＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1∴x＝1－∵x＜0，∴y＝－x2＋2x＜0∴当x＜0时，此段函数的反函数是y＝1－（x＜0）综上所述：所给函数的反函数为y＝评述：(1)在求分段函数的每一段相应的反函数时,仍严格按照求反函数的基本步骤进行.（2）分段函数的反函数被求的过程，能让我们体会到“先分后合”的思想在数学中的渗透作用.3.灵活应用“反函数”于解题中［例1］求函数y＝的值域分析：此题除用前面介绍的“分离系数”法求得其值域外，也可通过求其反函数的定义域得

4、到原函数的值域这一途径.解：由y＝得x≠－∴有：y（2x＋5）＝1－x∴x＝∴反函数为y＝（x∈R且x≠－）；因而此函数y＝的值域为y∈{y∈R｜y≠－}评述：求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域，这种方法往往可以使问题有“出奇制胜”的效果，它的优越性将随着我们对知识的继续深入学习体现得越发明显.［例2］已知函数f（x）＝求f－1[[f（x）]，f[f－1（x）].解：由y＝（x≠1）可得y（x－1）＝2x＋1，∴x＝∴反函数f－1（x）＝（x≠2）∴f－1[f（x）]＝f－1（）＝＝xf[f－1（x）]＝f（）＝＝x评述：由上题我们发现，互为反函数的两

5、个函数f（x）与f－1（x）之间符号互逆性，即f－1[f（x）]＝x，f[f－1（x）]＝x请读者利用以上结论试探索：若函数y＝f（x）的反函数是y＝ｇ（x），且f（m）＝n（mn≠0）则ｇ（n）等于多少?［例3］已知函数y＝f（x）在定义域（－∞，0]内存在反函数，且f（x－1）＝x2－2x，求f－1（－）.分析：此题一般思路是：先求出f（x），进而求出f－1（x），将－代入f－1（x）中求得f－1（－）.解：∵f（x－1）＝x2－2x＝（x－1）2－1∴f（x）＝x2－1（x≤0）∵当x≤0时，f（x）＝x2－1≥－1∴函数f（x）的值域为[－1，＋∞)

6、∵f（x）＝x2－1（x≤0)得：x＝－（y＝f（x））∴得函数f（x）的反函数是：y＝－（x≥－1）∴f－1（－）＝－评述：以上解题思路简单但运算麻烦，若不仔细认真，将会导致结果错误.如下解法将会体现一种技能技巧，使解题过程大大简化：解：∵f（x－1）＝x2－2x＝（x－1）2－1∴f（x）＝x2－1（x≤0）当x2－1＝－（x≤0)时有：x＝－∴f－1（－）＝－评述：比较以上两种解法，请读者自行归纳总结它们解题过程繁简差别的原因，并试用简捷明快的思路解决以下问题：问题：已知函数f（x）＝的反函数是f－1（x）＝，求常数a，b，c值是多少?提示：选取由f－

7、1（x）去求f（x）这一优秀途径解决此问题.二、参考练习题1.求下列函数的反函数(1)y＝1－（x≥1）答案：y＝x2－2x＋2（x∈（－∞，1]）(2)y＝｜x－1｜（x≤1）答案：y＝1－x（x∈[0，＋∞)(3)y＝x2－2x＋3（x∈（1，＋∞））答案：y＝1－（x∈（2，＋∞））(4)y＝x｜x｜＋2x答案：y＝(5)f（x）＝答案：f－1（x）＝2.解答题(1)已知f（x）＝f－1（x）＝（x≠－m），求实数m？答案：m＝－2提示：利用相同函数的定义域、值域完全相同这一性质，巧妙地结合互为反函数的性质去解.(2)已知f－1[f－1（x）]＝25x

8、＋30，则一次函数的解析式是什么?答案：f（x）＝－