高一数学 2.5指数（备课资料） 大纲人教版必修

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1、●备课资料一、n次方根的定义n次方根的定义是平方根，立方根定义的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广.对比平方根、立方根概念，不难知道：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，设a∈R,n是大于1的奇数，则a的n次方根是.②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等，符号相反的数，零的偶次方根是零，负数的偶次方根没有意义.设a≥0,n是大于1的偶数，则a的n次方根是±.二.开方与乘方求a的n次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混.如求3

2、的四次方，结果是34=81.而求3的四次方根，结果为±.对于根式记号,要注意以下几点：①n∈N,且n>1.②当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内惟一的一个n次方根，()n=a.③当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时有意义，当a<0时无意义.(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是-,(±)n=a.④式子对任意a∈R都有意义.当n为奇数时，=a;当n为偶数时，=

3、a

4、=.●备课资料一、根式、分数指数幂运算的注意事项1.利用指数幂的意义及运算性质，一般将根式转化为分数指数幂运算.2.在根式

5、运算中，常出现开方与乘方并存的情况，要特别注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，否则就会产生误解：如：＝，但≠（）2，这里（）2在实数范围内没有意义.3.分数指数幂严格规定了运算顺序，当a＞0时，a＝，不得交换m、n的次序，同时必须注意幂指数不能随意约分，否则就会出错.如：（－4）＝＝2，而（－4）＝在实数范围内无意义.二、参考练习题[例]计算下列各式：(1)0.25－1×（）·（6）－10（2－）－1＋（）＋16(2)（a·）－3÷(3)（4）解：(1)原式＝（）－1·（）·（）－＋（3×102）＋（24）＝4×·－1

6、0×（2＋）＋10＋2＝4×－20－10＋10＋2＝－12(2)原式＝（a·a）－3÷[b－4·（a－2）]＝a·b－2÷（b－2·a）＝a－1·b0＝(3)原式＝＝＝－.(4)原式＝＝（－）＋（2－）－（2－）＝－－＋＋2－2＝0评述：形如(a＞0，b＞0)的根式称为复合根式，当满足x＞y＞0，x＋y＝a，x·y＝b时，则＝±.●备课资料参考例题［例1］化简分析：化简这类式子，一般有两个方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.解：原式＝＋＝+＝＋＝＝＝1.评述：对

7、于这类问题，如果采用负指数幂的定义把负指数化为正指数的方法，则式子将变为繁分式，这样化简起来比较复杂，所以一般采用分式的基本性质，即分子、分母都乘以同一个式子的方法把负指数化为正指数，用这种方法相对简单一些.［例2］比较，，的大小.分析：这个问题实际上要比较：6，15与219的大小，由于它们的指数与底数都不相同，所以可以考虑将它们的指数或底数统一起来.解：∵＝6＝（63）＝216＝15＝（15）＝225＝219而216＜219＜225所以216＜219＜225即＜＜评述：对于底数与指数都不相同的式子，比较大小时一般都是考虑将

8、底数或指数中的一个统一起来，这样便于比较大小.［例3］已知x＋x＝3，求的值.分析：解决这个问题的关键是找到已知条件与所求式子的关系.解：由x＋x＝3两边平方得：x＋x－1＝7再平方得：x2＋x－2＝47然后对式子x＋x＝3两边立方得：x＋x＋3（x＋x）＝27即x＋x＝18所以评述：在指数式的运算性质中，要注意指数的范围不同，底数的范围也不同.［例4］已知x＞0，y＞0，且（＋）＝3（＋5）求：的值.解：由已知x＞0，y＞0且（＋）＝3（＋5）得x＋＝3＋15y即x－15y－2＝0，－2－15＝0.解得：＝5即＝5，x＝2

9、5y.所以＝2.[例5]已知a＞0，a2x＝3，求：的值.解：∵a＞0，a2x＝3，∴ax＝.∴a－x＝，a3x＝3，a－3x＝.∴评述：此题解决的关键是恰当寻求已知与所求之间的内在联系.找到a2x与a3x，a－3x之间的桥梁ax，a－x，使问题得以解决.●备课资料参考例题［例1］计算(1)(2)解析：对于分数指数幂的运算只要按照分数指数的运算法则进行运算即可，而对于根式的运算，因为我们没有学过根式的运算性质，所以根式的运算一般都要转化为指数式来进行.解：(1)＝2＋(2)＝＝＝评述：根式的运算都要首先化成分数指数幂的形式，

10、然后再利用分数指数幂的运算性质进行运算，但结果既可以是分数指数幂的形式，也可以是根式的形式.［例2］化简分析：这个式子包含三个根式，在化为指数式时要注意层次分明.解：原式＝=＝===评述：对于多重根式，化简时首先要注意它的层次性，其次若最后结果是分数指数，则一般要写成根式的形式.［例3］根