高一数学 2.6指数函数（备课资料） 大纲人教版必修.doc

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1、●备课资料一、指数函数的定义函数y＝ax（a＞0且a≠1)叫指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(－∞，＋∞).说明：规定“a＞0且a≠1”的理由：如果a＝0，如果a＜0，当x取，…数时，ax不存在.如果a＝1，ax是一个常数1，对它没有研究的必要.为了避免出现ax是一个常数或无意义等上述各种情况，所以规定：“a＞0且a≠1”.二、参考例题［例1］若y＝（a2－4）x是一个指数函数，求a的取值范围.分析：指数函数y＝ax的底数a必须满足：a＞0，且a≠1.解：由a2－4＞0，且a2－4≠1得a＞2或a＜－2，且a≠±.故a的取值范围是（－∞，－）∪（－，－2）∪（2，）∪（，＋∞）.

2、评述：解题时要注意指数函数的定义，特别是指数函数y＝ax中底数的取值范围.［例2］判断函数y＝ax－2＋3的图象是否恒过一定点?如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由.分析：函数y＝ax－2＋3的图象是随a的变化而变化，也就是说图象的位置是不确定的.但这个函数是由指数函数的图象经过平移得到的，而指数函数的图象恒过一个定点，所以这个函数的图象也应该过一个定点.解：原函数可变为：y－3＝ax－2若设x－2＝x′，y－3＝y′，则y′＝ax′，这是一个指数函数，它的图象恒过定点(0，1)，即x′＝0时，y′＝1，也就是：x－2＝0时，y－3＝1.解得：x＝2，y＝4.所以，原函数的图象恒过定

3、点(2，4).评述：此题也可不换元而直接考虑指数等于0的情形，因为当指数等于0时，只要底数不等于0，其结果就一定为1.［例3］求函数y＝ax＋k－1（a＞0且a≠1)的图象不且只不经过第四象限的充要条件.分析：指数函数的图象不经过第三、第四象限，如果把它向下平移，则所得的图象就可能不经过第三或第四象限.解：由已知以及指数函数的特征：可得a＞1，且－1＜k－1＜0，解得：a＞1且0＜k＜1.这就是说，函数y＝ax＋k－1（a＞0且a≠1）的图象不且只不经过第四象限的充要条件是：a＞1且0＜k＜1.评述：一般地，函数y＝f（x）＋k的图象就是由函数y＝f（x）的图象向上(k＞0)或向下(k＜

4、0)平移｜k｜个单位得到的.［例4］已知a＞0，且a≠1，x∈R，x≠1，当时，求a的取值范围.解：∵x∈R，x≠1∴x2＋1－2x＝（x－1）2＞0∴x2＋1＞2x又∵a＞0且a≠1，所以当时，就有0＜a＜1.三、参考练习题1.指出下列函数哪些是指数函数（1）y=4x;(2)y=x4;(3)y=－4x;(4)y=(－4)x;(5)y=πx;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(2a－1)x(a>且a≠1).分析：根据指数函数定义进行判断.解：（1）、（5）、（8）为指数函数；（2）是幂函数；（3）是－1与指数函数4x的乘积；（4）中底数－4<0,∴不是指数函数；（6）中指数不是

5、自变量x,而是x的函数；（7）中底数x不是常数.它们都不符合指数函数的定义.评述：准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.2.指数函数y=f(x)的图象经过点（π,e）,则f(0)=,f(1)=,f(－π)=.分析：解答本题的关键是求得f(x),根据指数函数定义，可设指数函数为y=f(x)=ax.解：设y=f(x)=ax,它的图象经过点（π,e).∴e=aπ,a=.于是f(x)=∴f(0)=e0=1,f(1)=,f(－π)=e-1=●备课资料一、如何比较幂、指数值的大小1.利用函数的单调性比较大小涉及到无理数和超越数的大小比较，一般须根据这些数的构成特点，寻求某个函数作模型，然后将各数

6、统一到这个模型中，利用函数单调性比较大小.构造模型函数，其一般方法是：①指数相同，底数不同时构造幂函数；②底相同，指数不同时构造指数函数.［例1］比较下列两数的大小解：由于y＝0.９x在x∈R上是减函数.又由于（a＋1）（a＋2）≥0可得a≥－1或a≤－2.当a≥－1时，（a＋）2＝a2＋3a＋＞（a＋1）（a＋2），此时.当a≤－2时，（a＋）＜0，∵a＋＜，此时，.2.作商法不同底指数的大小比较通常采用作商法.在am和bn（a＞0，b＞0）中，不妨设m与n均大于零，.若a≥时，am≥bn；若a≤时，am≤bn.［例2］比较1618与1816的大小.解：∵∴1618＞1816.3.利用

7、“中间量”比较大小［例3］比较ab与ba（0＜a＜b＜1）的大小解：(1)先比较ab与aa的大小.考查函数y＝ax∵0＜a＜1∴函数y＝ax是减函数.又a＜b，∴ab＜aa.(2)再比较aa与ba的大小，考查函数y＝xa，∴a＞0∴函数在（0，＋∞)上是增函数.又a＜b，∴aa＜ba综上所述可知：ab＜ba.二、参考练习题1.将下列各数从小到大排起来分析：比较两数的大小，如果它们是同一个函数的函数值，则一般都是利用函数的单调性比较大