高中数学选修本(理科)数学归纳法及其应用举例 同步练习1

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1、数学归纳法及其应用举例同步练习1一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.若f(n)=1+(n∈N*),则当n=1时，f(n)为A.1B.C.1+D.非以上答案2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*）,在验证n=1成立时，左边计算所得的项是A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a33.某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得A.当n=6时该命题不成立；B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立4.如

2、果命题P(n)对n=k成立，则对n=k+2也成立，又若P（n)对n=2成立，则下列结论正确的是A.P（n）对所有自然数n成立B.P（n）对所有正偶数n成立C.P（n）对所有正奇数n成立D.P（n)对所有大于1的自然数n成立5.已知数列{an}中，a1=1,a2=2，an+1=2an+an－1(n∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，应证A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除；C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除6.用数学归纳法证明，“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第2步归纳假设应写成A.假设n=2k+1(k∈N*)时正

3、确，再推证n=2k+3时正确B.假设n=2k－1(k∈N*)时正确，再推论n=2k+1时正确C.假设n=k(k≥1)时正确，再推论n=k+2时正确D.假设n≤k(k≥1)时正确，再推论n=k+2时正确二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.连续两个自然数之积一定能被2整除，连续三个自然数之积一定能被___________整除；连续四个自然数之积一定能被___________整除.8.a1=,an+1=,猜想an=___________.9.已知数列,…，,…计算得S1=,S2=,S3=，…由此可猜测：Sn=___________.10.用数学归纳法证明“对一切正整数n，

4、都有2n+2＞n2”这一命题时，证明过程中的第（1）步，n应该验证___________.11.用数学归纳法证明命题：当n∈N时，11n+2+122n+1能被133整除，假设n∈k，k∈N*时命题成立，推论n=k+1时命题也成立，应添加的辅助项为___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.用数学归纳法证明（3n+1)·7n－1能被9整除(n∈N*).13.是否存在常数a、b使等式对一切n∈N*都成立.14.已知正数数列{an}（n∈N*）中，前n项和为Sn，且2Sn=an+，用数学归纳法证明：an=.参考答案一、1.C2.C3.C4.B5.D6.B

5、二、7.6248.9.10.n=1,2,3时命题成立11.11·122k+1－11·122k+1或144·11k+2－144·11k+2三、12.证明：（1）n=1时，4×7－1=27能被9整除.（2）假设n=k(k∈N*),(3k+1)·7k－1能被9整除.那么,当n=k+1时，［3（k+1)+1］·7k+1－1=［(3k+1)+3］(1+6)·7k－1=（3k+1)·7k－1+(3k+1)·6·7k+21·7k=［（3k+1)·7k－1］+(3k·6·7k）+（6+21）·7k以上三式均能被9整除，则n=k+1时，命题成立.据（1）（2）可知，命题对一切正整数n都成立.13.证明

6、：令n=1，2，得现用数学归纳法证明对n∈N*，都有证明：（1）当n=1时，由上可知等式成立（2）假设n=k时，（k∈N*)，等式成立即成立当n=k+1时====∴n=k+1时，等式成立，由（1）（2）知.对一切n∈N*，等式都成立.14.证明：（1）当n=1时.a1=S1=∴a12=1（an＞0)∴a1=1,又=1∴n=1时，结论成立.（2）假设n=k时，（k∈N*)，结论成立，即ak=当n=k+1时，ak+1=Sk+1－Sk===∴ak+12+2ak+1－1=0解得ak+1=－（an＞0)∴n=k+1时，结论成立由（1）（2）可知,对n∈N*都有an=.