《2.3.2 数学归纳法应用举例》同步练习1

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1、《2.3.2数学归纳法应用举例》同步练习1一、基础过关1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*),验证n=1时,左边应取的项是(  )A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+42.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(  )A.2B.3C.5D.63.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),证明不等式f(2n)>时,f(2k+1)比f(2k)多的项数是(  )A.2k-1项B.2k+1项C.2k项D.以上都不对4.用数学归纳法证明不等式++…+>(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+

2、1时,下列说法正确的是(  )A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了B中的两项,但又减少了一项D.增加了A中的一项,但又减少了一项5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为________________.二、能力提升6.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)37.k(k≥3,k∈N*)棱柱有f(k)个对角面,则(k+

3、1)棱柱的对角面个数f(k+1)为(  )A.f(k)+k-1B.f(k)+k+1C.f(k)+kD.f(k)+k-28.对于不等式≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,≤1+1,不等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即≤k+1,则n=k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,上述证法(  )A.过程全部正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确9.用数学归纳法证明++…+>-.假设n=k时,不等式成立.则当n=k+1时,应推证的目标不等式是____________________

4、__________________________.10.证明:62n-1+1能被7整除(n∈N*).11.求证:++…+>(n≥2,n∈N*).12.已知数列{an}中,a1=-,其前n项和Sn满足an=Sn++2(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.三、探究与拓展13.试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.答案1.D 2.C 3.C 4.C 5.Sn=6.A 7.A 8.D 9.++…+++>-10.证明 (1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时,62k-1

5、+1能被7整除.那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,∴当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.由(1),(2)知命题成立.11.证明 (1)当n=2时,左边=+++>,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即++…+>.则当n=k+1时,++…++++=++…++(++-)>+(++-)>+(3×-)=,所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)和(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.12.解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=

6、Sn++2.∴Sn=-(n≥2).则有:S1=a1=-,S2=-=-,S3=-=-,S4=-=-,由此猜想:Sn=-(n∈N*).用数学归纳法证明:(1)当n=1时,S1=-=a1,猜想成立.(2)假设n=k(k∈N*)猜想成立,即Sk=-成立,那么当n=k+1时,Sk+1=-=-=-=-.即当n=k+1时猜想成立.由(1)(2)可知,对任意正整数n,猜想结论均成立.13.证明 当n=1时,21+2=4>n2=1,当n=2时,22+2=6>n2=4,当n=3时,23+2=10>n2=9,由n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立.下

7、面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,所以左边>右边,所以原不等式成立.当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边>右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边>右边.(2)假设n=k(k≥3且k∈N*)时,不等式成立,即2k+2>k2.那么当n=k+1时,2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2·k2-2.又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.

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