《2.3.2 数学归纳法应用举例》课件2

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1、《2.3.2数学归纳法应用举例》课件2证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。注意1.用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推的基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推的依据n＝k时命题成立．作为必用的条件，而n

2、＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明回顾例:已知数列计算,根据计算的结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.例:是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:(2)假设当n=k时结论正确,即:则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当

3、n=1时,由上面解法知结论正确.例:比较2n与n2(n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1,2n>n2当n=2时，2n=4,n2=4,2n=n2当n=3时，2n=8,n2=9,2nn2当n=6时，2n=64,n2=36,2n>n2猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.说明:用

4、数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,---则:f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.作业：Ｐ１０８Ａ组３1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线------的条数f(n+1)=f(n)+__

5、_______.2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成f(k+1)=f(k)+__________个区域.思考题