高中数学选修本(理科)数学归纳法及其应用举例 同步练习2

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1、数学归纳法及其应用举例同步练习21.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于A.1B.2C.3D.02.等式12+22+32+…+n2=A.n为任何自然数时都成立B.仅当n=1，2，3时成立C.n=4时成立，n=5时不成立D.仅当n=4时不成立3.用数学归纳法证明不等式+…+（n≥2,n∈N*)的过程中，由n=k逆推到n=k+1时的不等式左边A.增加了1项B.增加了2项C.增加了“”，又减少了“”D.增加了，减少了4.用数学归纳法证明（n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…（2n－1)(n∈N*)时，假设n=k时成立，若证n=

2、k+1时也成立，两边同乘A.2k+1B.C.D.5.证明1++…+(n∈N*)，假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是A.1项B.k－1项C.k项D.2k项6.上一个n级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f(n),则下列猜想中正确的是A.f(n)=nB.f(n)=f(n－1)+f(n－2)C.f(n)=f(n－1)·f(n－2)D.f(n)=二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.凸n边形内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+___________.8.观察下列式子：1+,1+＜,1+,…则可归纳出：_______

3、____.9.设f(n)=（1+,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后，f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·___________.10.有以下四个命题：（1）2n＞2n+1(n≥3)(2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1)(3)凸n边形内角和为f(n)=(n－1)π(n≥3)(4)凸n边形对角线条数f(n)=(n≥4)其中满足“假设n=k(k∈N,k≥n0).时命题成立，则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是___________.11.用数学归纳法证明（a,

4、b是非负实数，n∈N*)时，假设n=k命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.已知an=n∈N*求证：an＜1.13.平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2－n+2个区域.14.设f(k)是满足不等式log2x+log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)的正整数x的个数，（1）求f(k)的解析式；（2）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),Pn=n2+n－1（n∈N*）试比较Sn与Pn的大小.参考答案一、1.C2

5、.B3.C4.C5.D6.D二、7.180°8.1+9.(1+10.(2)（3）11.两边同乘以三、12.证明：(1)当n=1时，a1=＜1，不等式成立.（2）假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即ak=＜1亦即1+22+33+…+kk＜(k+1)k当n=k+1时ak+1===()k＜1.∴n=k+1时，不等式也成立.由（1）、（2）知,对一切n∈N*，不等式都成立.13.证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12－1+2=2，命题成立.（2）假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成k2－k+2个区域.当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有

6、2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域.∴n=k+1时，命题也成立.由（1）、（2）知，对任意的n∈N*,命题都成立.14.解：（1）∵log2x+log2(3·2k－1－x)≥2k－1∴解得2k－1≤x≤2k∴f(k)=2k－2k－1+1=2k－1+1(2)∵Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+22+…+2n－1+n=2n+n－1∴Sn－Pn=2n－n2n=1时,S1－P1=2－1=1＞0n=2时，S2－P2=4－4=0n

7、=3时，S3－P3=8－9=－1＜0n=4时，S4－P4=16－16=0n=5时，S5－P5=32－25=7＞0n=6时，S6－P6=64－36=28＞0猜想，当n≥5时，Sn－Pn＞0①当n=5时，由上可知Sn－Pn＞0②假设n=k(k≥5)时，Sk－Pk＞0当n=k+1时Sk+1－Pk+1=2k+1－(k+1）2=2·2k－k2－2k－12(2k－k2)+k2－2k－1=2(Sk－Pk)+k2－2k－1＞k2－2k－1=k(k－2)－1≥5(5－2)－1=14＞0∴当n=k+1时，Sk+1－Pk+1＞0成立由①、②可知，对