2019-2020年高中数学选修本(理科)2.1数学归纳法及其应用举例（三）

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1、2019-2020年高中数学选修本(理科)2.1数学归纳法及其应用举例（三）教学目的：1.牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.2.对数学归纳法的认识不断深化.教学重点：证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题.教学难点：在P(k)P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.内容分析：数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题，在解析几何中主

2、要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳

3、法证明几何中的问题时，难点就是在P(k)P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在.要分析增加一条曲线或直线后，点、线段、曲线段、平面块在P(k)基础上净增多少，于是就找出了相应的递推关系.教学过程：一、复习引入：1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般.2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物

4、的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法.5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k

5、(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　.递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.二、讲解范例：例1用

6、数学归纳法证明：x2n－y2n()能被x+y整除.证明:(1)当n=1时，x2n－y2n=x2－y2=(x－y)(x+y)所以(x－y)(x+y)能被x+y整除.故n=1时命题成立.(2)假设n=k时x2k－y2k能被x+y整除，(利用添项去项将x2k+2－y2k+2配成x2k－y2k的形式，再用归纳假设)因为x2k+2－y2k+2=x2·x2k－y2·y2k=x2(x2k－y2k)+x2·y2k－y2·y2k=x2(x2k－y2k)+y2k(x2－y2)由假设x2k－y2k能被x+y整除，而x

7、2－y2也能被x+y整除.故x2k+2－y2k+2能被x+y整除，即n=k+1时也成立.由(1)、(2)知命题对一切正整数都成立.例2用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n+2+122n+1是133的倍数.证明：(1)当n=0时，11n+2+122n+1=112+121=121+12=133.故n=0时命题成立.(2)假设当n=k时命题成立，即11k+2+122k+1能被133整除.∴n=k+1时，11(k+1)+2+122(k+1)+1=11·11k+2+122·122k+1=11·(1

8、1k+2+122k+1)+122·122k+1－11×122k+1=11·(11k+2+122k+1)+122k+1(144－11)=11·(11k+2+122k+1)+122k+1·133由归纳假设知11k+2+122k+1及133都能被133整除.∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除，即n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知.命题对一切自然数都成立.说明：第一步的初始值，可能会：当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112－11×12