2.1数学归纳法及其应用举例（一）

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1、2.1数学归纳法及其应用举例(一）yyyy年M月d日星期回忆等差数列的通项公式的推导过程：a1=a1+0da2=a1+d=a1+1da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d······由此得到等差数列的通项公式是an=a1+(n–1)d这里，我们由等差数列{an}的一些具体的项a1，a2，a3，a4，···归纳出了它的通项公式，这种方法我们称为归纳法，用这种方法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律.复习回顾但是应该特别注意，仅根据一系列有限的特殊事例归纳出的一般结论有时是不正确的.例如，一个

2、数列的通项公式是an=(n2–5n+5)2,验证一下，n=1,2,3,4时，an都等于什么呢？a1=1，a2=1,a3=1,a4=1.如果由此作出结论——对于任何nN*，an=(n2–5n+5)2=1都成立，那就错了，事实上，a5=251.再请看数学史上的一个资料：费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分

3、别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，=4294967297=6700417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是，失误的关键不在于多算一个上！那么，怎样判断用归纳法得到的某些与正整数有关的命题的真假呢？这就要使用数学归纳法.数学归纳法的定义：定义：对于与正整数n有关的命题，先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设当n=k(kN*，且k≥n0)时命题

4、成立，并证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立，这种证明方法叫做数学归纳法.新课教学数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.例1用数学归纳法证明：如果{an}是等差数列,那么an=a1+(n-1)d对一切nN*都成立.证明(1)当n

5、=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式是成立的(2)假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k－1)d.那么ak+1=ak+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：注：用数学归纳法证明与正整数n有关的命题时，在完成两个步骤后，一定要写出结论.所以，严格来说，应该是三个步骤，第三步是写出结论.如果光有第一步和第二步，则是不完善的.(1)证

6、明当n取第一个值n0(例如n0=1或2等)时结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.例2用数学归纳法证明1+3+5+···+（2n–1）=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2

7、.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立注：当n=k时命题成立的假设叫归纳假设，利用数学归纳法证题，一定要利用归纳假设来证明n=k+1的情况，因而n=k时成立的等式一定要具体写出来，以便利用.已知数列,…,,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.例3、解：可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想.(1)当n=1时,左边=S1=右边=猜想成立.下面我们用数学归纳法证明这个

8、猜想.(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即那么,根据(1)、(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.所以,当n=k+1时猜想也成立.本题体现了运用观察、分析、归纳、发现规律，猜想结论，证明结论从而解决数学问题的思想方法练习1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=.(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=∴n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=∴等式