2.1数学归纳法及其应用举例(1)ppt

《2.1数学归纳法及其应用举例(1)ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.1数学归纳法及其应用举例(1)演绎推理推理方法归纳推理(一般到特殊)(特殊到一般)完全归纳不完全归纳三段论问题情境一:问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:如果{an}是一个等差数列，怎样得到an=a1+(n-1)d?完全归纳法不完全归纳法模拟演示在等差数列{an}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1=a1=a1+0d,a2=a1+d=a1+1d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,……an=?归纳an=a1+(n1)d数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。问题情境二:费马

2、(1601—1665)：17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马。费马在丢番图著书的边缘，写下一条注记：“当n>2时，xn+yn＝zn没有正整数解，但是边缘太窄写不下我的简单的证明。”费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向；他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：费马(1601--1665)法国伟大的业余数学家。欧拉(1707～1783

3、)，瑞士数学家及自然科学家。问题情境二:不完全归纳法?对任何nN*,2nn2+2归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.归纳法:（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法优点：考查全面，结论正确;缺点：工作量大，有些对象无法全面考查.优点：考查对象少，得出结论快;缺点：观察片面化，结论不一定正确.如何解决不完全归纳法存在的问题呢？多米诺骨牌课件演示如何

4、保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（2）验证前一问题与后一问题有递推关系.（相当于能推倒第一块骨牌）（相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌）问题情境三:数学归纳法用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题和猜想,常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时结论正确;（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后,就可以断定这个命题和猜想对于从n0开始的所有正整数n都正确.这种证明方法叫做数学归纳法例1．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an=

5、a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。例题讲解证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1)·d=a1,∴当n=1时，等式成立(2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k-1)d则当n=k+1时ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d∴当n=k+1时，等式也成立。由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。凑假设结论从n=k到n=k+1有什么变化证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2

6、(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据例2.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理（3）由（1）、（2）得出结论.点题归纳小结：找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整练习:用数学归纳法证明:(1)（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1

7、（3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1