数学归纳法及其应用举例（二）.ppt

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1、2.1数学归纳法及其应用举例(二）*用数学归纳法证明与正整数n有关命题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2等)时结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.复习回顾（二）对数学归纳法的两个步骤的进一步讨论：用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.1.从上面计算数列{an}(其中an=(n2-5n+5)2)各项的值可以看出，只有步骤(1)而没有步骤(2)，就可能得出不正确的结论.因为只有步

2、骤(1)，我们无法递推下去.2.只有步骤(2)，而没有步骤(1)，行不行呢？例如，假设n=k时，等式2+4+6+···+2n=n2+n+1成立，即2+4+6+···+2k=k2+k+1那么，当n=k+1时，2+4+6+···+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1这就是说，当n=k+1时等式成立.如果由此得出这个等式对于任何nN*都成立的结论，那就错了.事实上，这个等式根本就不成立，不仅当n=1时不成立，n取任何正整数等式都不成立.所以，只有步骤(2)，而没有步骤(1)这个基础，也会得出错误

3、的结论.所以，数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.注：(1)用这个公式可以计算下图所示的一堆物品的总数.(2)这个公式表示的是前n个正整数的平方和公式，以后做题是可以直接运用.例题解析（证明见课本例2）例2用数学归纳法证明：1×4+2×7+3×10+···+n(3n+1)=n(n+1)2.注：利用数学归纳法证明n项之和等于某式，难点是第二步中n=k+1的证明，关键是在归纳假设的基础上再加一项（第k+1项），通过提取公因式，通分等变形，变为结论右端n为k+1的形式为止，最后再写出结论.（证明见课本例3）例3．判断下列推证是否正确，若是

4、不对，如何改正.证明：①当n=1时，左边＝右边＝等式成立②设n=k时，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立根据①②可知，对n∈N＊，等式成立没利用归纳假设，不能直接用求和公式证明.例4、（2008.四川绵阳一诊)用数学归纳法证明等式:1+2+3+…+n2=(n∈N*),则从n=k到n=k+1时左边应添加的项为A.k2+1B.(k+1)2D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2解析：∵当n=k时，等式左边=1+2+3+…+k2当n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2

5、)+…+(k+1)2比较上面两个式子，应选D从n=k到n=k+1时左边应添加的不止一项，是多少项？你能计算吗。例5.求证:n≥2时，证明：（1）（请同学们完成第一步的验证）（2）假设n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有正确的应该是对吗？为了能利用归纳假设，即n=k+1时，命题成立根据①②可知，对n≥2，不等式成立巧妙合理地运用“放缩技巧”，使问题获得简便的证明1、判断下列推证是否正确，并指出原因.证明：假设n=k时，等式成立，就是那么这就是说当n=k+1时等式成立，所以时等式成立.用数学归纳法证明：成立事实上，对任意正

6、整数n,等式都不成立，错误的原因是……练习数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.2.用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2证明:(1)当,左边=1,右边=1,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,就是1+3+5+…+(2k-1)=k2那么1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何的n∈N*都成立.3、是否存在常数a、b、c，使得等式对一切正整数n都成立？并证明你的结论.提示：取n=1、2、3求得a、b、c的值，

7、再用数学归纳法证明.（a=3,b=11,c=10）用数学归纳法证明恒等式（不等式）的步骤及注意事项：明确首取值n0并验证真假（必不可少）.“假设n=k时命题正确”并写出命题形式分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握式子变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等。可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉小结