数学归纳法及其应用举例

《数学归纳法及其应用举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.1数学归纳法及其应用举例（2）1．会用数学归纳法证明整数(整式)整除问题．2．会用数学归纳法证明一些简单的几何问题．3．了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤．4．掌握为证n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等①数学归纳法证明有哪些步骤？②数学归纳法通常解决什么问题？(与正整数有关命题)回顾目的要求例2用数学归纳法证明：例题选讲【分析】(1)第—步应做什么?本题的n0应取多少?（２）在证传递性时，假设什么？求证什么?（3）比较上述两个式子的左边，相差

2、什么?求证式的左边与已知式的左边相差—项：(k+1)2例2用数学归纳法证明：例题选讲例题选讲那么这就是说，当n=k+1时等式也成立。例题选讲例4用数学归纳法证明：34n+2＋52n+1能被14整除．分析：(i)容易验证当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16，能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．当n＝k＋1时，相应的表达式怎样写？整除问题34(k+1)+2＋52(k+1)+1从34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝3

3、4k+2·34＋52k+1·52入手34k+2·34＋52k+1·52怎样利用34k+2＋52k+1证明可以被7整除？例题选讲例4用数学归纳法证明：34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16，∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25

4、＋56)·34k+2＋25·52k+1＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．整除问题2、解题关键是把34(k+1)+2＋52(k+1)+1拆分为34k+2·34＋52k+1·52，再组合为都能被14整除的两整式的和。1、本题在解答中应用了数的整除性质设A、B、C是整数，（1）若A整除B,则A整除BC;(2)若A整除B且整除C,则A整除B+C∵(34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除，∴34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立．根据(i)、(ii)可知,34n+2＋52n+1

5、能被14整除．例题选讲25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．小结例5：用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除．例题选讲分析（1）当n=1时是成立的，例5：用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除．例题选讲证明：（1）当n=1时，x–y=(x+y)(x-y),x-y能被x+y整除。2222例4与例5这类整除问题，都用到拆项的方法例4把34(k+1)+2＋52(k+1)+1拆成34k+2·34＋52k+1·52,例5把拆成Xy22不同之处是例4拆项后可以直接分成两个

6、都能被14整除的数的和，而例5拆项后则需要增减项后才能分成两个都能被x＋y整除的数的和.例题选讲思考1：例4与例5这类整除问题在由n=k到N=k+1时的证明方法有什么相同之处？思考2：例4与例5在由n=k到N=k+1时的证明有什么不同之处？练习：P67练习1、25(5k－2k)＋3×2k解析：(2)假设n=k时命题成立.即:5k－2k被3整除.当n=k+1时5k+1－2k+1=5×5k－2×2k=5(5k－2k)＋5×2k－2×2k=5(5k－2k)＋3×2k练习.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步

7、中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为专项训练kk+1例题选讲分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图，观察交点的变化规律。例6平面内有n(n>1)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.几何问题n图形图形n交点个数交点个数2345f(2)=1f(3)=3=1+2=f(2)+2f(4)=6=3+3=f(3)+3f(5)=10=6+4=f(4)+4从k条到k+1条交点增加了k点，应证f(k+1)=f(k)+k例题选讲几何问题

8、例6平面内有n(n>1)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证明:(1)当n=2时两条直线的交点只有一个，又f(2)=2(2-1)/2=1,因此当n=2时，命题成立。（2）假设n=k(k>1)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k