数学归纳法及其应用举例 课件.ppt

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1、数学归纳法及其应用举例问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一、设置情景，导学探究：多米诺骨牌课件演示如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下----------递推关系；即第k块倒下，则相

2、邻的第k+1块也倒下----------奠基；所以n=k+1时结论也成立那么求证(一定要用上假设)二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。【归纳

3、奠基】【归纳递推】数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件--------游戏开始（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确；假设推理----------游戏规则（3）由（1）、（2）得出结论.点题找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整特别提醒：证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1

4、+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据例1.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立证明：1、当n=1

5、时,左=12=1，右=∴n=1时，等式成立2、假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+…+k2+(k+1)2==右∴n=k+1时，原不等式成立由1、2知当nN*时，原不等式都成立练1、用数学归纳法证明：例:如下证明对吗？证明：①当n=1时，左边＝右边＝等式成立。②设n=k时，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步

6、骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.例:欲用数学归纳法证明2n>n2,试问n的第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.例:用数学归纳法证明:(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密

7、关系,造成推理无效.证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加的项.练习巩固1、证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（）A．1B.C．D.2.已知:则等于()A:B:C:D:这就是说当时等式成立，所以时等式成立.思考1：下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：证明：假设时，等式成立，就是那么思考2：下面是某同学用数学归纳法

8、证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?(1)当n=1时,左边=,右边=(2)假设n=k(k∈N*)时命题成立，那么n=k+1时,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.=右边,左边