2.1数学归纳法及其应用举例（三）

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1、2.1数学归纳法及其应用举例(三）yyyy年M月d日星期用数学归纳法证明与正整数n有关命题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2等)时结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.复习回顾练习:若例1用数学归纳法证明：x2n–y2n能被x+y整除（对于多项式A，B，如果A=BC，C也是多项式，那么A能被B整除）.证明:(1)当n=1时，

2、x2n－y2n=x2－y2=(x－y)(x+y)所以(x－y)(x+y)能被x+y整除.故n=1时命题成立.(2)假设n=k时x2k－y2k能被x+y整除，那么x2k+2－y2k+2=x2x2k－y2y2k=x2x2k－x2y2k+x2y2k－y2y2k=x2(x2k－y2k)+y2k(x2－y2)由假设x2k－y2k能被x+y整除，而x2－y2也能被x+y整除.故x2k+2－y2k+2能被x+y整除，即n=k+1时也成立.由(1)、(2)知命题对任何n∈N*都成立.例题解析注：用数学归纳法证明整除问题，难点仍然是n

3、=k+1这一步的证明，问题的关键是，通过拆项，加一项，减一项等手段分离出n=k时的式子与另一满足整除条件的式子的组合式，从而解决该式能被某式整除的问题.例2、用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n+2+122n+1是133的倍数.证明：(1)当n=0时，11n+2+122n+1=121+12=133即n=0时命题成立(2)假设n=k时，11k+2+122k+1能被133整除那么11(k+1)+2+122(k+1)+1=1111k+2+122122k+1=11(11k+2+122k+1)11122k+1

4、+122122k+1=11(11k+2+122k+1)+122k+1(14411)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133由归纳假设知11k+2+122k+1及122k+1133都能被133整除∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除，即n=k+1时命题也成立由(1)、(2)，可知命题对一切自然数n都成立注：因为自然数中包括0，所以第一步应验证n=0，而不是n=1.本题第一步若证明n=1时命题成立，不符合自然数集的新定义.证n=0，既方便减少计算量又科学更严密.一般情况，有时

5、为了简化计算常将证明n=1改证n=0或n=－1，这种技巧称之“提前起点”，提前起点的前提是n为整数，否则递推无法进行.另外，利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k+1)能被p整除，也可运用结论：“P(k+1)－P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.”证明：(1)当n=2时，两条直线的交点只有一个,所以，当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k2)时命题成立，即平面内满足题设的任意k条直线的交点的个数为例3、当n=k+1时，设有满足条件的k+1条直线，任取其中一条直线，记为l.A1A

6、2Akl由所给条件，直线l必与其它的k条直线恰有k个交点，且这k个交点两两不同，且与其它交点也都不同.根据(1)和(2)，可知命题对任何正整数n(n2)都成立.练习1．n为奇数时xn+yn能被x+y整除.证明：(1)当n=1时，xn+yn=x+y，它能被x+y整除，所以n=1时命题成立.(2)假设当n=k(k为正奇数)时，命题成立，即xk+yk能被x+y整除.当n=k+2时，xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2yk－x2yk=x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+y

7、k(y+x)(y－x).由归纳假设知.xk+yk能被x+y整除.(y+x)(y－x)也能被x+y整除.∴x2(xk+yk)+yk(y+x)(y－x)能被x+y整除.即xk+2+yk+2也能被x+y整除.故对n=k+2时也成立.由(1)、(2)知命题对一切正奇数都成立2、凸n边形的内角和f(n)=(n－2)·180°(n≥3).证明：(1)n=3时,图形是三角形，内角和为180°又f(3)=(3－2)·180°=180°.∴n=3时命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即凸k边形的内角和为f(k)=(k－2)·18

8、0°,那么n=k+1时，凸k+1边形的内角和是在原来的凸k边形的基础上增加一个三角形，内角和为f(k)+180°=(k－2)·180°+180°=［(k+1)－2］·180°.而f(k+1)=(k+1－2)·180°∴n=k+1时，命题也成立.由（1）和（2），可知凸n边形的内角和为f(n)=(n－2)·180°(n≥3).本节课主要是学习了运