高三数学教案：2.1数学归纳法及其应用举例(二).pdf

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1、课题：2.1数学归纳法及其应用举例（二）教学目的：1.进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧2.掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力教学重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤教学难点：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.归纳法：由一些特殊事例推

2、出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也

3、成立这种证明方法就叫做数学归纳法5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，*命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，⋯，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；*(2)假设当n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确二、讲解范例：例

4、1用数学归纳法证明2222n(n1)(2n1)123n6例2用数学归纳法证明21427310n(3n1)n(n1)三、课堂练习：21.用数学归纳法证明:1352n1n.证明:(1)当n1,左边=1,右边=1,等式成立.第1页共3页2(2)假设当nk时,等式成立,就是1352k1k,那么1352k12k11222k2k11k2k1k1.这就是说,当nk1时等式也成立.*根据(1)和(2),可知等式对任何的nN都成立.nn2.用数学归纳法证明13512n11n,当n1时，左边应为_____________.3.判断下列推证是否正确，并指出原因.2用数学归纳法证明：2462nnn1证

5、明：假设nk时，等式成立2就是2462kkk1成立那么2462k2k122kk12k1=k1k11这就是说当nk1时等式成立，*所以nN时等式成立.4．判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.11111n求证：＋＋＋＋1()23n222221111证明：①当n=1时，左边＝右边＝1，等式成立22211111k②设n=k时，有＋＋＋＋1()23k22222那么，当n=k+1时，有k1111k111111221＋＋＋＋123kk1222221212即n=k+1时，命题成立＊根据①②问可知，对n∈N，等式成立四、小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值n0并验证真假

6、（必不可少）.“假设n=k时命题正确”并写出命题形式第2页共3页分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉五、课后作业：1.是否存在常数a、b、c使得等式12132435......n(n2)n(anbnc)对一切自然数n都成立并证6明你的结论2.（８９年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式222n(n1)21223.....n(n1)(anbnc)对一切自然数n都成立

7、？12并证明你的结论（a=3,b=11,c=10）六、板书设计（略）七、课后记：第3页共3页