高三数学教案：2.1数学归纳法及其应用举例(一).pdf

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1、课题：2.1数学归纳法及其应用举例（一）教学目的：1.了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写教学重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．教学难点：数学归纳法中递推思想的理解．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学归纳法是一种用于证明与自然数n

2、有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅

3、使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时

4、命题成立这个条件教学过程：一、复习引入：问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒出来看一看就可以了．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，⋯⋯，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．an*问题2：在数列{an}中，a11,an1,(nN)，先算出a2，a3，a4的值，再推1an测通项an的公式．1111*过程：a2，a3，a4，由此得到：an,(

5、nN)，234n第1页共4页解决以上两个问题用的都是归纳法.再请看数学史上的两个资料：资料1:费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但n2是，费马曾认为，当n∈N时，21一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，5221=4294967297=6700417×641

6、，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，⋯f（39）=1601．2但是f（40）=1681=41是合数算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级

7、大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明课件展示：多媒体课件(游戏：多米诺骨牌),多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；（2）第一张牌被推倒．用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法．二、讲解新课：1.归纳法：由一些特

8、殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要