高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用学案新人教b版选修1

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1、2.1.2第2课时　椭圆方程及性质的应用1．掌握直线与椭圆的位置关系．2．通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题．(重点)3．能利用椭圆的有关性质解决实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　点与椭圆的位置关系阅读教材P40～P41内容，完成下列问题．设点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)．(1)点P在椭圆上⇔＋＝1；(2)点P在椭圆内⇔＋＜1；(3)点P在椭圆外⇔＋＞1.已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是________．①点(－2,3)在椭圆外；　　　②点(3,2)在椭圆

2、上；③点(－2，－3)在椭圆内；④点(2，－3)在椭圆上．【解析】　由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上．【答案】　④教材整理2　直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的位置关系及判定直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)联立消去y得一个一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ＞0相切一解Δ＝0相离无解Δ＜02.弦长公式设直线y＝kx＋b与椭圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝·

7、y1－y2

8、.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点P(2,1)在椭圆＋＝1的内

9、部．(　　)(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切．(　　)(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2＋＝1相交．(　　)(4)长轴是椭圆中最长的弦．(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：____

10、_________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]直线与椭圆的位置关系　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，问m为何值

11、时，直线与椭圆相切、相交、相离？【导学号：25650053】【精彩点拨】　利用几何法判断直线与椭圆的位置关系．【自主解答】　将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.当Δ＝0时，得m＝±，直线与椭圆相切．当Δ＞0时，得－＜m＜，直线与椭圆相交．当Δ＜0时，得m＜－或m＜，直线与椭圆相离．1．直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的，Δ的符号决定了交点的个数，从而确定了其位置关系．2．有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题，一是判断位置关系，二是依据位

12、置关系确定参数的范围，两类问题在解决方法上是一致的，都要将直线与椭圆方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．[再练一题]1．已知椭圆的方程为x2＋2y2＝2.(1)判断直线y＝x＋与椭圆的位置关系；(2)判断直线y＝x＋2与椭圆的位置关系；(3)在椭圆上找一点P，使P到直线y＝x＋2的距离最小，并求出这个最小距离．【解】　(1)由得3x2＋4x＋4＝0.∵Δ＝(4)2－4×3×4＝0，∴直线y＝x＋与椭圆相切．(2)由得3x2＋8x＋6＝0.∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0，∴直线y＝x＋2与椭圆相离．(3)由(1)、

13、(2)知直线y＝x＋与椭圆的切点P满足条件，由(1)得P的坐标为，最小距离d＝＝－.直线与椭圆的相交弦问题　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.【导学号：25650054】(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．【精彩点拨】　(1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解；(2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用．【自主解答】　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.由可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x

14、2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是

15、AB

16、＝＝＝＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.(2)法一：设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，