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1、第2章导数与微分【授课对象】理工类专科大一学生【授课时数】学时【授课方法】讲授与提问、随堂练习相结合【基本要求】1、理解导数与微分概念及导数的几何意义和物理意义；2、函数的可导性与连续性之间的关系；3、熟练掌握各种求导方法，特别是复合函数的求导方法；【本章重点】理解导数与微分定义及导数的几何意义和物理意义【本章难点】复合函数的求导方法。【授课内容及学时分配】微分学是微积分的重要组成部分。它的基本概念是导数与微分.导数概念最初是从寻找曲线切线以及确定变速直线运动的瞬间速度而产生的,它是反映函数相对自变量的变化快慢的程度,而微分是伴随导数
2、而产生的概念,是指明当自变量有微小变化时,函数大体上变化多少.本章将首先介绍导数的概念及计算方法,然后介绍人微分的概念,计算方法及应用.第一节导数的概念一、引例1.变速直线运动的瞬时速度我们知道,物体作直线运动时,其位移S是时间t的函数,记作S=S(t).下面求物体在时刻的瞬时速度(图2-1)s0设自变量t在有一个增量,相应地位移S也有一个增量.因而,物体在到这个时间段内的平均速度为当时间间隔很小时,平均速度是可用来作为物体在时刻的速度的近似值,越小,精度就越高,若趋于0时,平均速度的极限存在,则极极限值就是物体在时刻的瞬时速度.即.
3、1.曲线的切线斜率设点是曲线上一点,当自变量变到时,在曲线上得到另一点,连结A与B得割线AB(图2-2).ABT由图可看出,割线AB的斜率:其中为割线AB的倾斜角.当B点沿着曲线移动而趋向于A点,此时割线AB的极限位置AT叫做曲线在点A处的切线,设切线AT的倾斜角为.这时,当点B沿曲线趋向于点A(即)时,有,从而有,即以上两个实际问题的讨论,虽然它们的实际意义不同,但解决问题的数学方法是相同的,都是研究函数与自变量的比以及当时的极限,在数学中,我们将极限称为函数的导数.一、导数的定义定义1设函数在点的某一邻域内有定义,若极限存在,则称
4、函数在点处可导,并称此极限值勤为函数在点处的导数,记作.即.若函数在(a,b)内的每一点处都可导,则称在(a,b)内可导,对于(a,b)内每一个指定的x值,函数都有一个确定的导数值与之相对应,这样构成了一个新的函数,简称导数,记作同时也称为(a,b)内的可导函数.一、用导数的定义求导数根据定义求的导数,可分为以下三个步骤:(1)求增量:;(2)算比值:=0;(3)取极限：.例1常数函数的导数.设,求.解(1)求增量:因为,不论取什么值时,都等于,所以.(2)算比值:=0;(3)取极限：.即(C)¢=0.例2．幂函数的导数.f(x)=x
5、n(n为正整数),求.解特别(1)若n=1,则=1;(2)若n=2,则.例3．求函数f(x)=ax(a>0,a¹1)的导数.解:f¢(x).特别地有(ex)=ex.例4．求函数f(x)=logax(a>0,a¹1)的导数.解:.即.:特殊地.,.例5．求函数f(x)=sinx的导数.解:f¢(x).即(sinx)¢=cosx.用类似的方法,可求得(cosx)¢=-sinx.一、左导数与右导数定义2在定义1的条件下,如存在,则称此极限值为函数在点处的左导数,记为如果存在,则称此极限值为函数在点处的右导数,记为根据第一章第三节的极限存在的
6、充要条件和导数的定义,有:存在的充分必要条件是其左、右导数均存在且相等,即=一、可导与连续的关系1.若函数y=f(x)在点x0处可导,则y=f(x)在点x0处连续证明设函数y=f(x)在点x0处可导,则在点处有,从而有即y=f(x)在点x0处连续2.尽管函数y=f(x)在点x0处连续,但在点处不一定可导.3．若函数y=f(x)在点x0不连续,则y=f(x)在点x0处不可导.二、导数的实际意义1．导数的几何意义由前面的讨论可：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）,处的切线斜率，即.由此可
7、知如果不存在，则曲线在点M处切线方程为2．导数的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义，例如变速直线运动位移函数的导数就是速度，即是物体绕一轴旋转的角度，它是时间t的函数，对时间的导数，就是角速度，即是通过导体截面的电量，它是时间t的函数，对时间t的导数，就是电流，即M=M(x)是质量分布函数，它是长度x的函数，M(x)对长度x的导数，就是质量非均匀分布的细杆在x处的线密度，即第二节导数的运算一、导数的四则运算定理2.1设函数在点处可导,则它们的和,差,积与商在点处也可导，且（1）[（2）（3）（4）；证明略。法则（1）可推广到有
8、限个函数的代数和的求导法则，即：法则（2）可推广到有限多个函数的代数乘积的求导法则，即：法则（4）中，若为常数，），则：例1求函数的导数。解：=例2设，求及解：===12例3求函数的导数。解：例4求函数的导数。解：例5求
