一题多解开拓思路

《一题多解开拓思路》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、一题多解开拓思路郑绍明摘要：一题多解是开拓思路、发展智力、提高能力的有效途径。木文结合具体的例题对一题多解的方法进行了分析。关键词：一题多解；思路；方法作者简介：郑绍明，任教于广丙融安县高级中学。思维的广阔性表现在思维的广度上，它有两个层次，一是能全面细致地多方面思考，不但能考虑问题木身，而且能善于考虑与问题有关的其它条件，从不同的角度考虑问题；二是对所研宄的问题能抓住全貌和木质，形成一些有普遍意义的方法，迁移于较广的范围。笔者在教学中有选择地介绍几种典型的解法,并尽可能引导学生从多角度思考问题，由此开拓学生思路，巩固所学知识，并激发学

2、生学习的积极性，以冲击思维的单一性，突破思维的局限性，以利于培养学生思维的广阔性。数学是研究数与形的科学，尽管代数、几何、三角等各个章节都有自己的“数或形”的重点，但它们之间并没有不可逾越的鸿沟。大家常讲的所谓“一题多解”，正是指从数学知识的各种不同角度，运用不同的思维方法去解决同一个问题。因此“一题多解”所涉及的知识、方法、思想，较单一方法解题的面更广，方法更灵活。题目：（高考变式题）α为三角形内角，若sinα+cosα=—，贝IJtgα的值是（）oA.—B.一C.D.木题比较典型，其多

3、种解法中，前几种属于课木内三角函数内容里的常见方法，后几种则是标准化试题的常用解法。通过对各种解法的运用，既加深了对有关知识的记忆和理解，乂可使自己的发散思维受到一次训练。在复习时选练此题，效果良好。解法一分析：应用平方关系消元后化条件式中的函数为同名函数，转化为一元二次方程求解。由条件，α为钝角，否则sinα+cosα>0,贝ijsinα=，代入sinα+cosα=—，得+cosα=—，即25cos2α+5cosα—12=

4、0,解之得cosα=（舍去）cosα=—，于是sinα=，tgα=—，答案为B。说明：此解法复习了同角三角函数的基本关系，过程虽较复杂，但思路清晰，步骤清楚，属最容易在直觉中产生的解法。方程转化过程中需要两边平方，这可能产生增根，必须验根。解法二由sinα+cosα=—，两边平方得sin2α=—，∴1—sin2α=—∴存sinα—cosα=,与sinα+cosα=—联

5、立解得sinα=、cosα∴tgα=—o说明：对sinαcosα=a（1），常用的变形方式之一是两边平方（见解法二、三、六），然后可求得sinαcosα的值（（解法二）或Sin2α的值（解法三、六），再进•-步求解。解法三分析同上，求出sin2α的值后由万能公式求解。同法二有sin2α=—=,解得tgα=—或一，当tgα=—吋，sinα=,cosα=—,此时

6、sinα+cosα=,与条件矛盾，∴tgα=一。答Bo解法四分析：由万能公式化条件中的函数为同名函数，由此求得tg,再求tgα。同解法一，有α∈（π/2,π）,令tg=t,则原条件即+=—，∴t2=-l/2舍去）又由tgα===—知，答案为B。解法五利用同角三角函数的基本关系式化为同名函数，通过解方程得结果。同解法一有α∈(π/2,π),sinα+cosα=—

7、可变为+=—即12tg2α+25tgα+12=0,解之得tgα=—或一经检验tgα=—，答B。说明：公式sinα=,cosα=是同名三角函数基本关系的变形式(或称二级公式)，同样很重要，也很常用，必须熟记。解法六由解法二有sin2α=—，于是cos2α=(显然由π<2α<2π尚不能确定cos2α的具体符号，以下寻找更强的定号条件)由sinα+cosα=sin(&alpha

8、;+)=—<0有α+>π,α>,∴π<2α<2π，∴cos2α=—，&there4