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1、隐函数存在定理注:读作.定理1设满足下列条件：i),在:,上连续;ii)(通常称为初始条件);iii).则有以下三个结论:(1),使得在点的某一个邻域内,方程唯一地确定了一个定义在区间内的隐函数,满足.换句话说,存在定义在内的函数,满足,且;(2)在上连续;(3)在上有连续的导数,且.定理2设函数满足下列条件:i)偏导数和在:,上连续,其中,;ii);iii).则有以下结论成立:(1)存在的一个邻域,使得在点的某个邻域内,方程唯一地确定了一个定义在的元隐函数,满足.换句话说,存在函数,,使得当时,,且;(2)在内连续;(3)在内有连续的偏导数,且.定理3设函数和
2、满足:i)在点的某个邻域内,,对各变元均有一阶连续偏导数;ii),(称为初始条件);iii).则有以下结论成立:(1)在点的某个邻域内,方程组唯一地确定一组函数,,它们定义在的某个邻域内,当时,,满足,,且;(1)及在内连续;(2)及在内有关于,的偏导数,且,,,.定理4设函数组,满足i)在的某邻域内对,有连续偏导数;ii),;iii).则在的某邻域内存在唯一一组反函数,使得(1),,且当时,有,;(2),在内存在连续的一阶偏导数,且,,,.推论1在定理4的条件下有.推论2设函数组,在开集内有连续偏导数,且在内恒不为零,则由函数组定义的映射的像集是平面上的开集.
3、推论3在推论2的条件下,设是任一有界闭集,则它的像集也是有界闭集,且的内点映射为的内点,的边界点映射为的边界点映射.定理5设有个元函数,满足i)在点的某邻域内有对各变元的连续偏导数;ii);iii)则有以下结论成立:(1)在的某邻域内,方程组,,唯一地确定函数组,,它们定义在的某邻域内,使得,,且当时有恒等式;(1)这组函数在内连续;(2)这组函数在内对个变元有连续的偏导数,且对的偏导数可由下面方程组解出:.
