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1、1隐函数存在定理一、情形在第四章和第十四章中我们先后介绍过隐函数概念及隐函数求导法.这里将给予严格的论证.设有方程需要解决这样的问题:在什么条件下,此方程确定一个隐函数?进一步,要问这样的函数是否可导?先从一个简单的例子说起,设有方程在几何上,它表示一个单位圆,容易知道,它在这一点及其某个邻域内唯一地确定了一个函数这个函数在的近旁连续,并具有连续导数.同样在这一点及其某个邻域内也唯一地确立了一个函数它在的近旁连续,具有连续导数.但在和这两点的任何邻域内却不具有这种性质了,这时对于的右邻域或的左邻域内任何一个值,将获得两个值因此唯一性遭到破坏.此外还容易知道,单位圆在点和点处的切线是垂直于轴
2、的,因此在这两点处不存在有限导数.由此可见,方程只是对某些点及其某个邻域来说,存在唯一确定的可微函数,而对另外一些点却不是这样.所以需要讨论在什么条件下,在适合方程的点的某个邻域内由方程可以确定唯一一个函数,并且它具有我们所需要的性质,例如连续性、可微性.我们有如下的定理,它告诉我们,如何从二元函数的性质来断定由方程所确定的函数是存在的,并且这个函数还将具有某些特性.这个定理连同下面的几个定理,统称为隐函数存在定理.定理1设满足下面条件:在区域:上连续;则有以下结果:在点的某一邻域内,唯一确定一个函数,且.换句话说,函数被定义在点的某个邻域内,它满足方程且在内连续;在内具有连续偏导数,且注
3、意:条件只是保证存在的某一邻域,使得对此邻域中任意固定的关于是严格增加的.因而,如果只要求结论的话,那么条件可适当减弱,例如改为“对中任意固定的,函数关于是严格单调的”.定理1有着明显的几何直观解释:方程可以看作下述联立方程从几何上看,是空间的一块曲面,是坐标平面,现在的问题是,在什么条件下这一联立方程有解,亦即在什么条件下,曲面与平面相交,其交线是唯一的并且又是光滑的曲线.定理的条件表明曲面是光滑曲面,定理的条件又表明曲面在平面上有一个交点定理的条件告诉我们,曲面在交点处沿轴方向看,曲面是单调的(若则它是单调增加的,若则它是单调减少的),再由曲面是连续的,从而在交点的附近曲面也是单调的.
4、在这样的条件下,显然在点的附近,曲面必与平面相交,其交线是唯一的,并且又是一条光滑的曲线(在平面上).例考察方程二、多变量情形上段所讨论的问题可以推广到多变量情形.其证明方法与上述相仿,我们只把结论叙述如下:定理2若函数满足以下条件:在区域上具有对一切变量的连续偏导数;则有以下结果:在点的某一邻域内，方程唯一地确定一个函数且在内连续；在内对各个变量有连续偏导数,且三、方程组情形下面,我们再讨论方程组的隐函数存在问题.例如方程组是否可以确定其中某两个变元为其他变元的函数呢?如果可以的话,这两个函数又将具有什么性质呢?设方程组关于变元有连续偏导数,其雅可比行列式为雅可比行列式有一些重要性质将在
5、下节给出.为简单起见,我们先给出方程组的隐函数存在定理.定理3若和都满足:在点的某一邻域内,函数和分别具有对各个变量的连续偏导数;在点,则在点的某一邻域内,方程组确定唯一的一组函,它们被定义在的某个邻域内,且及在内连续;及在内有关于和的连续偏导数,且对于更一般的方程组,我们也有同样的定理,它可以用数学归纳法来证明,这里我们只叙述其结果:定理4若有个函数满足在点的某邻域内具有对一切变元的连续偏导数;在点则在点的某邻域内,由方程组能唯一确定一组函数,它们定义在点某邻域内,满足并且有这一组函数在内连续;这一组函数在内具有对各个变元的连续偏导数，且其对的偏导数可以从方程组解得.
