隐函数存在定理及求导法则

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1、第五节隐函数存在定理及求导法则高等数学（下）河海大学理学院一、一个方程的情形1.F(x,y)0隐函数存在定理1设(1)函数F(x,y)在点P(x,y)的某一邻域内具有00连续的偏导数;(2)F(x,y)0;00(3)F(x,y)0;y00则方程F(x,y)0在点P(x,y)的某一邻域内能00唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数yf(x)，它满足条件yf(x)，并有00dyFx.隐函数的求导公式dxFy高等数学（下）22例１验证方程xy10在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x0时y1的隐函数yf(x)，并求这函数的一阶和二阶

2、导数在x0的值.22解令F(x,y)xy1则F2x,Fy2y,xF(0,1)0,Fy(0,1)20,22依定理知方程xy10在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x0时y1的函数yf(x)．高等数学（下）函数的一阶和二阶导数为dyFxdyx,0,dxFyydxx0x2yxdyyxyy12223,dxyyy2dy1.2dxx0高等数学（下）f(x).(FFf)FF(FFf)xxxyyxyxyyf2Fy22FF2FFFFFxxyxyxyyyx3F

3、y高等数学（下）22ydy例2已知lnxyarctan，求.xdx22y解令F(x,y)lnxyarctan,xxyyx则F(x,y),F(x,y),x22y22xyxydyFxxy.dxFyyx高等数学（下）2.F(x,y,z)0隐函数存在定理2设(1)函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的某一邻域内有000连续的偏导数;(2)F(x,y,z)0;000(3)F(x,y,z)0;z000则方程F(x,y,z)0在点P(x,y,z)的某一邻域内000能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数zf(x,y)，它满足条件z

4、f(x,y)，000zFxzFy并有，.xFyFzz高等数学（下）用隐函数求导公式时须注意:1.用隐函数求导公式求导,在分子中出现对函数变量求导数时,函数作为常数.2.不用隐函数求导公式求导,只是用思想方法求导,当出现对函数变量求导数时,函数作为中间变量,高等数学（下）2222z例3设xyz4z0，求.2x222解令F(x,y,z)xyz4z,zFxx则F2x,F2z4,,xzxF2zzzx2z(2z)x(2z)xx2z222x(2z)(2z)22(2z)x.3(2z)高等数学（下

5、）zxy例4设zf(xyz,xyz)，求，，.xyzz思路：把z看成x,y的函数对x求偏导数得，xx把x看成z,y的函数对y求偏导数得，yy把y看成x,z的函数对z求偏导数得.z高等数学（下）zf(xyz,xyz)解把z看成x,y的函数对x求偏导数得zzzf(1)fy(zx),12xxxzfyzf整理得12,x1fxyf12把x看成z,y的函数对y求偏导数得xx0f1(1)f2z(xy),yy高等数学（下）xfxzf整理得12,yfyzf12z

6、f(xyz,xyz)把y看成x,z的函数对z求偏导数得yy1f1(1)f2x(yz),zzy1fxyf12整理得.zfxzf12高等数学（下）xyxf(z)yg(z),xf(z)yg(z)0.zz(xg(z))(yf(z)).xy高等数学（下）F(x,y,z)0二、方程组的情形G(x,y,z)0隐函数存在定理3设(1)F(x,y,z)、G(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数;(2)F(x0,y0,z0)0,G(x0,y0,z0)0;(3)雅可

7、比行列式FF(F,G)yzJ0PGG(y,z)yzP高等数学（下）F(x,y,z)0G(x,y,z)0高等数学（下）(F,G)FxFzdy(x,z)GxGz,dx(F,G)FFyz(y,z)GGyzFF(F,G)yxdz(y,x)GyGx,dx(F,G)FyFz(y,z)GGyz高等数学（下）F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0隐函数存在定理4设(1)F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x,y,u,v)0000的某一邻域内有对各个变量的连续