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1、第八章第五节机动目录上页下页返回结束隐函数存在定理与隐函数微分法一、一个方程的情形二、方程组的情形本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.机动目录上页下页返回结束一、一个方程的情形隐函数的求导公式机动目录上页下页返回结束证明：只推导公式。由条件，知两边对x求导，得而解得机动目录上页下页返回结束解令则机动目录上页下页返回结束则机动目录上页下页返回结束解1：例2：机动目录上页下页返回结束由条件易知用公式解2：两边对x求
2、导两边再对x求导令x=0,注意此时方程两边直接求导机动目录上页下页返回结束例2：解3：方程两边直接求微分机动目录上页下页返回结束例2：机动目录上页下页返回结束定理证明从略,仅就求导公式推导如下:两边对x求偏导同样可得则机动目录上页下页返回结束思路：解1方程两边同时求导，机动目录上页下页返回结束整理得整理得机动目录上页下页返回结束整理得机动目录上页下页返回结束解2方程的两边同时求微分，x、y、z看成相互独立的变量机动目录上页下页返回结束解3利用公式，x、y、z看成相互独立的变量令解得机动目录上页下页返回结束二、方程组的情形机动目录上页下页返回结束
3、机动目录上页下页返回结束解1:直接代入公式；解2:将所给方程的两边对求导得解得机动目录上页下页返回结束解3将所给方程的两边求微分得解得机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解1:直接代入公式；解2:将所给方程的两边对求导并移项机动目录上页下页返回结束解得：将所给方程的两边对求导，用同样方法得机动目录上页下页返回结束解3将所给方程的两边求微分得解得：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例6：计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于机动目录上页下页返回结束解1：也可直接用隐函
4、数存在定理4的公式例6：计算极坐标变换的反变换的导数.同样有解得机动目录上页下页返回结束解2：等式两边同时关于x求导，得例6：计算极坐标变换的反变换的导数.故解得机动目录上页下页返回结束解3：等式两边同时求微分，得例7：解：机动目录上页下页返回结束于是可得,例8：解机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式机动目录上页下页返回结束作业习题7-5(P89)4，5，8，9，12，13解1令则机动目录上页下
5、页返回结束备用题解2方程两边直接对x求导，得机动目录上页下页返回结束整理得解3方程两边直接求微分，得机动目录上页下页返回结束整理得解1：用公式机动目录上页下页返回结束解2：方程两边分别关于x,y求导机动目录上页下页返回结束解3：方程两边求微分机动目录上页下页返回结束解1：令则机动目录上页下页返回结束解2：机动目录上页下页返回结束对两边关于x求导得(1)式两边再次关于x求导，得解3：对两边求微分得解得机动目录上页下页返回结束解1方程的两边同时对x求导，z看成x,y的函数同理,方程的两边同时对y求导,z看成x,y的函数机动目录上页下页返回结束解2方
6、程的两边同时求微分，x、y、z看成相互独立的变量机动目录上页下页返回结束解3利用公式，x、y、z看成相互独立的变量则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解：6、设方程是x,y的函数,连续,且求解:机动目录上页下页返回结束确定u课堂练习:机动目录上页下页返回结束3、设方程是x,y的函数,连续,且求确定u雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变
7、分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.
