第十八章 隐函数存在定理.doc

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1、第十八章隐函数存在定理§1隐函数存在定理引例：。考虑的点，不能显化，是使的点。定理1（一元隐函数存在定理）若满足1）；2）内连续且连续偏导；3），则有i)在附近由唯一确定隐函数满足，；ii)在连续；iii)在连续导数，且。证明设1）存在性由连续函数保号性，在上，在固定的，在（严格），又，从而，由连续，，在上；在上。对，是在上连续函数，则，由零点定理，，使得，由知唯一，从而有满足，；2）连续性设，对，由知，，则由前面讨论可知，时相应的隐函数满足，即，连续。3）可导性，，，，则成立，。=，又上，则有，令，则注：在局部确定隐函数定理2若满足1）；2）内连续且连续

2、偏导；3），则有i)在附近由唯一确定隐函数满足，；ii)在连续；iii)连续导数，且注，，例1设，求解对求偏导数，例2设，求解例3设，求解=定理3（多元隐函数存在定理）若满足1）；2）连续，连续偏导；3）点Jacobi行列式，则有i)在附近由唯一确定隐函数；ii)在连续；iii)在连续导数，且。例4设函数方程组，求解例5在直角坐标系中具有二阶连偏，，作变换，，导出关于的偏导数所满足的方程。解由于也是的函数。由于，代入就得到。例5设，在上具有连续导数。如果在处，则，具有连续导数的逆映射，，满足1）2），，，。证明，在处，由隐函数定理，在附近存在向量值函数，满

3、足I）；II），且在上有连续偏导，即在上为的逆映射。在II）中对求偏导得，，解之即得。§2偏导在几何中的应用一空间曲线的切线和法平面1.光滑曲线：空间曲线，向量形式：若在上连续，且，，则称光滑曲线。，，则过的割线的方程为，令得切线方程，是切向量。法平面方程。2．曲线方程，则处切线方程，法平面。3．曲线方程，，满秩。设在点，由隐函数存在定理，在点附近确定了的隐函数，，且有，，于是切线方程为，法平面为。例1一质点一方面按逆时针方向以等角速度绕轴转，另一方面又沿轴正向以匀速上升，已知质点在时刻在点处求1）运动轨迹2）在时刻速度。3）时在时对应点的切线和法平面。解

4、1）；；；螺旋线2），则。3），的方程，时.，。，所以切线方程，法平面。例2在点处的切线和法平面方程。法一，，则，，，于是切线方程，法平面。法二，于是，所以切向量，切线方程，法平面方程。二空间曲面的切平面和法线1.设曲面，，考虑过的任意曲线，并设。由于曲线在上，有。两边对求导：，即曲线上的任一条曲线在点的切向量都与向量垂直，所以这些切向量都在过点的平面上，称为在点的切平面。为法向量。切平面方程。法线方程。若曲面具有连续变动的切平面，即连续，称为光滑平面。2.若曲面方程为，即，曲面在点的切平面方程为法线方程为注：因，与切平面比较知，若在可微，则在附近曲面可用

5、切平面代替。3.曲面用参数方程表示：，在上满秩。假设，由隐函数定理，在内唯一确定，代入有，且，，，，由此得到，切平面方程为，法线方程例3求曲面在点处的切平面与法线方程。解。由于，切平面，法向量例4求曲面在所对应点处的切平面和法线方程。解，，，，，，于是在处，，。而处，切平面，法线。例5证明球面和相互正交。解两条曲线的交角指在交点处切向量的交角；两张曲面在交线上的夹角是法向量的交角，任一点上交角为直角，则称曲面正交。处，§3无条件极值定义1设为开区域，是上的函数，，若，，，则称为的极大值点（极小值点）；为相应的极大值（极小值）。定理1若为极值点，在可偏导，则

6、（驻点）。反之不然：马鞍面定理2设为驻点，在附近具有二阶连续偏导数，记，1）若时有极值：极小值，极大值。2）若时无极值；3）若无法确定。证明：由Taylor公式，，由二阶偏导连续，因此则有，其中。由，问题转为二次型在单位圆上是否保号。若二次型是正定的，那么在上的最小值满足。因此当且充分小时=，即为极小值，同理可证极大值。若这个二次型是不定的，则既非极大值也非极小值。反证法：若是极大值，取适当小，任何过的直线段，，，函数在也取极大值，则有，但因此=，说明二次型在上的总小于或等于零，与假设矛盾。例1求的极值。解驻点为：，极大值，时为极小值。其余皆不是极值点。例

7、2讨论的极值解驻点，，无法用定理判断。注意到，，在曲线上，在曲线上，因此不是极值。定理可推广到多元函数。§3函数的最值例3在以为顶点的三角形所围闭区域上找点，使它们到三个顶点的距离的平方和最大或最小，并求相应的最大值和最小值。解，内部驻点，极小值。在边上，，，在处最大值3，最小值。在边上，，，在处最大值3，最小值。在边上，，，在处最大值3，最小值。综上所述：两点到的三个顶点距离的平方和最大，最大值是3，而点到的三个顶点距离的平方和最小，且最小值。例4有一宽为24m的长方形木板，两边折起，做一个横截面为等腰梯形的水槽，用怎样的折法才能使梯形得截面积最大？解设

8、边长为，折角为，得内部唯一驻点：；时，。3．最小二乘法：已知一组数