第十八章隐函数定理及其应用

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1、第十八章隐函数定值及其应用§1隐函数教学目的掌握隐函数概念，理解隐函数定理，学会隐函数求导法.教学要求（1）拿握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法.（2）掌握隐函数定理的证明.教学建议（1）木节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法.要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点.（2）木节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求.教学程序一、隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.（一）、隐函数及其几何意义：以FU,y）=0为例作介绍.（二）、隐函数

2、的两个问题：1隐函数的存在性；2隐函数的解析性质.二、隐函数存在条件的直观意义：三、隐函数定理：定理：（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件：1函数尸（兀,刃在以佗（兀（）,儿）为内点的某一区域DuF上连续；2F（x（）,yo）=O;（通常称这一条件为初始条件）3在〃内存在连续的偏导数©（兀,刃；4F）,（兀0，儿）M。・则在点耳的某邻域U（花）U刀内，方程F（x,y）=0唯一地确定一个定义在某区间(兀o—&,Xo+Q)内的隐函数y=/(兀)，使得1/(x0)=y0,xe(x0-a,x{}+a)Hj(x,/(x

3、))eU(£))且F(x,/(x))=O.2函数/(兀)在区间(x.-a,兀o+Q)内连续•例1设x2=vw,y2=uw,z2=uv及/(x,y,z)=F(w,v,w),证明Vx+yfy+或=叭+vFv+wFw2X=VW证方程组9空=uvX=x(w,V,vv)先求这个函数组对各变元的偏导数，确定了函数组y=y(w,v,w),z=z(u,v,w)为此，对方程组求微分得2xdx=wdv+vdwv2ydy=wclu+udw,即dx==——dv+—dw2x2xdy=w,u=——du+-—clw2y2ydz=V,,二—d

4、u+—dv2z2z

5、2=uw,z2=uv代入即得+yfy+Zfz=uFlt+vFv+wFw.2z.dz=vdu+udv'炸⑴式再分别对求偏导，得(1)(2)(3)(4)(5)例2若"/(x,y)有连续二阶偏导数，满足方程空学=(』工)2，证明：若把z=几兀』)ox「dy「oxoy中y看成圮z的函数，则它满足同样形状的方程空◎=(空丄)2.dx~dzdxdz证由z=/(x,y)确定y是兀,z的函数,则有z=/(x,y(x,z)),方程两边分别对兀,z求偏导,得堂+型空dxdydx°=写+2空釦尊(餌+龙与dx~dxdydx6y~dx

6、dydx~0=心创彷

7、舒Fydxdydz8y2dxdz.dydxdz，(2)式再对z求偏导，得0=兽(郭+鲁貝，dyozdydz出(3)(5)式82fd2f8y2dfd2yd2f

8、d2f2十笑兰鋼dx2dy2dz-dydz2dxdydxdy2dxdydx2=52y52ydf2tdfd2yd2fdyd2fdy2dx2dz2Sydydz2dxdydx6y2dx=卑与型)2_写(釦［2尝字+写g)2］仙⑸式)dz2dydy1dzdxdydxdydx52yc2y6/2S2fdydyd2fdyd2fdy8ydx2dz2d

9、ydy2dxdzdxdydzdy2dxdz'由(4)式(兰1空)2=(护/d6

10、戏夕)，2dxdydzdy2dxdzdydxdz釜）2+曙兴等）2M52/dydydfd2ydy2dxdzdydxdz!S2fdydy^fdydy

11、2^d2y^dy2dxdzdy2dxdzdydxdz.因为希存爲几则S2yS2y8f2d2fdydyd2fdy

12、d2fdydydx2dz1dydy2dxdzdxdydzdy2dxdz=(g/52j)2,82fdydyd2fdy^dy,^dfd2ydydxdzdy2dxdzdy2dxdzd

13、ydxdz，结合(4)式得/y，y®2二(M00)2

14、2夕/彷內［夕/・0)，

15、02/彷勿

16、年。2》,dx2dz2dydydxdzdy2dxdz,dxdydzdy2dxdzdydxdz82yd2ydx?比2w=/(x,y,z,/)设