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《第十八章隐函数定理及其应用学习题课.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十八章隐函数定理及其应用习题课一疑难问题与注意事项1．是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？答：不是所有的方程都可以确定隐函数，例如方程，当时，不能确定任何函数，使得，只有当时，才能确定隐函数.隐函数有的不可以用显示表示出来，例如方程能确定定义在上的函数，使得.但这个函数却无法用的算式来表达.2．在隐函数定理中，若，则一定不能确定隐函数吗？答：不对，隐函数定理的条件是充分条件，不满足隐函数定理条件时可能确定隐函数，也可能不确定隐函数.我们只能用隐函数定理不好判断是否存在隐函数.例如方程在不满足,但仍能确定惟一的连续函数.例如:,由
2、于,与连续，故满足(i)（ii）（iii）,但因,致使在的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数（由图像对任意属于的邻域，不能保证有唯一的来对应）.3．求隐函数的一阶导数有哪些方法？答：法1：用隐函数定理注意：在用隐函数定理时，对求导把看作常数，对求导把看作常数.法2：把看作复合函数，对方程两边求导，注意此时是的函数.法3：全微分法对两边微分，即，则有.4．在隐函数组定理中，若在点等于零，则一定不能确定,吗？答不对，隐函数组定理的条件是充分条件，只能讲只有难以肯定能否作为以为自变量的隐函数.5.空间曲线在处的切线方程中若某一个分母为，怎么理解？答若，则理
3、解为.注不全为零.6.若是函数在条件下的极值点，那么也是函数的极值点，对吗？答不对，反例是在条件下的极值点，但不是的极值点.二典型例题1．方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？解：令，则有Ⅰ）在原点的某邻域内连续；Ⅱ）；Ⅲ），在原点的某邻域内连续；Ⅳ），．故由隐函数存在唯一性定理知，方程在原点的某邻域内可确定隐函数，但不知道能否确定．注注意对哪个变量求偏导不为0，就把该变量作为应变量，其它变量是自变量.注定理条件是充分的，但不满足定理条件时，就不好用隐函数定理.2．方程在点的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?解：令,则Ⅰ）在点的某邻域内连续
4、；Ⅱ）；Ⅲ），,均在上述邻域内连续；Ⅳ），,故由隐函数存在唯一性定理知，在点的某邻域内原方程能确定出方程函数和，不知道能否确定．3．函数在哪些近点旁可唯一决定单值连续，且有连续导数的函数．解：由于及，都在全平面连续，且当时，故由隐函数定理可知满足条件的点的近旁，方程可唯一决定单值连续，且有连续的导数的函数．4．证明：在点的某邻域内存在唯一的连续可微函数，满足，，并求．证：令，求得，，可知函数在的邻域内有、连续，且有，，故由隐函数存在定理知在点的某邻域内存在唯一的连续可微函数，满足，，且有．5.设是由方程确定的隐函数，求，．解法1（公式法）设，则，，，则由隐
5、函数定理得，．解法2（直接法）在方程两边分别对，求偏导数，将看成是，的函数，得，，于是，．解法3（全微分法）利用全微分形式不变性，在方程两边求全微分得，即，于是，．6.设，求．解在方程两边分别对求偏导数，并注意是，的函数，得，于是，再对两边对求偏导数，并注意是，的函数，得于是将的表达式代入上式得．7.1）,求．2）,求和．解1）把看成的函数,两边对求偏导数,则有．所以把看成的函数,两边对求偏导数,即得．所以．把看成的函数,两边对求偏导数,即得．所以．2）把看成的函数,两边对求偏导数,得．故原方程两边关于求偏导数,得故．．8.设,其中为由方程所确定的隐函数,
6、求及．解：由方程,得．因,故．9.试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数组?解令则(1)在点的某邻域内连续;(2)(3)均在点(1,-1,2)的邻域内连续;(4)故由隐函数组定理,在点的附近所给方程组能确定形如的隐函数组．10.求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)求；(2)求．解(1)设方程组确定的隐函数组为对方程组两边关于求导,得或解此方程得．(2)把看成的函数,对求偏导数或由克拉默法则得，．11.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：求．解把看成函数，方程组两边对求导得由克拉默法则得，．12．设以为新的自变量变换下列方程：设解把当中间变量所以
7、将上述，代入原方程，并化简得，即．13.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：（1），在点；（2），在点．解（1）因为因此于是切线方程为：，即．法平面方程为：，即．（2）令则所以，故切线方程为；法平面为．14.求下列曲面在所示点处的切平面与法线：（1），在点（2），在点．解（1）令，则，故切平面方程为，法线方程为．（2）令，则故切面方程为，即．法线方程为．15.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1）若（2）若（其中）；（3），若．解(1)设对求偏导数,并令它们都等于,则有（轮换性）解之得由得，于是显然在取得极小值,因此在取得极小值(2)设且解方
8、程组得由于当个正数的积一定时,其和必有最小值,故一定存在唯一稳定点
