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《隐函数存在定理及隐函数组定理的一个证明方法.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第!"卷湖北师范学院学报(自然科学版)#$%&!"第’期($)*+,%$-.)/012$*3,%4+150*6178(2,7)*,%9:10+:0)2$&’,!;;"隐函数存在定理及隐函数组定理的一个证明方法江秉华(湖北师范学院数学系,湖北黄石<=>";;!)摘要:利用不动点定理证明隐函数存在定理及隐函数组定理。关键词:完备度量空间;压缩映射;不动点中图分类号:?’@=&’<<文献标识码:A<<文章编号:’;;BC!@’=(!;;");’C;;D@C;><<在数学分析中,隐函数存在定理及隐函数组定理是两个很重要的定理,在教学中这两个定理的证明是难点,而教材中给出的证明比较复杂,学生
2、不易理解,这里给出一个比较易于接受的证明。’<隐函数存在定理及其证明?!<<定理<设!:"E"&",#E$:"E"是%(&;,’;)’"E"的一个邻域,设!及在#E$内连续,?’?!又设(!&;,’;)F;,(&;,’;)%;则@(&;,’;)的一个邻域,#;E$;:#E$以及唯一的连续函数!:#;?’&$;满足(!&,!(&))F;,且!(&;)F’;,&’#;(证明<设)[&;G*,&;H*]表示定义在闭区间[&;G*,&;H*]上,取值在"上的连续函数空间,!’)[&;G*,&;H*]G’?!令+:!&+!,(+!)(&)5!(&)G(?(’&;,’;))(!&,!(&)),
3、&’[&;G*,&;H*],!,"’)[&;G*,&;H*],规定<<(#!,")F3,I{J!(&)G"(&)J}记,(&)F!(&)G"(&)(J&G&;JK*G’G’?!?!<<(#+!,+")F3,I!(&)G((&;,’;))(!&,!(&))G"(&)H((&;,’;))(!&,"(&))J&G&;JK*?’?’G’?!F3,I!(&)G"(&)G((&;,’;))[(!&,!(&))G(!&,"(&))]J&G&;JK*?’GG?!L由微分中值定理,(!&,!(&))G(!&,"(&))F(&,’()!(&)G"(&))其中’F$!(&)H(’G$)E?’GG?("(
4、&)),;K$K’,又(&,’)在(&;,’;)处连续,所以@%M;,当J&G&;J+%,J’G’;J+%时?!G?!?!’?!(&,’)G(&;,’;)K(&;,’;)(?’?’!?’G’G’G?-?-?-?-N;K*K%时,有(#+!,+")+3,I((I;,8;))(I;,8;)G((I;,8;))(I,8)JO(I)JJIGI;J+*?8?8?8?8’+3,IJO(&)J(’)J&G&;J+*!收稿日期:!;;=—’’—!;作者简介:江秉华(’BP=—<),男,湖北蕲春人,高级讲师。·D@·今取!5{!’"[#!"$,#!#$]!(#!)$%!,%&’(!(#)"%!(+$
5、},则!是在"[#!"$,#!#$]中是闭的,从而是一(#"#!(+$个完备的度量空间。())式表明&是!上的压缩映射,下面再证&:!&!就行了。注意到由())式有"))?’("&!,%!)+("&!,&%!)#("&%!,%!)+"(!,%!)#%&’((#!,%!))(’#,%!)又由’的连续性,*(#"#!(+$?%存在#+!,当!,$,#时,有")")?’?’$%&’((#!,%!))(’#,%!)$%&’((#!,%!))((’#,%!)"(’#!,%!)),(*)(#"#!(+$?%(#"#!(+$?%*")?’因此当!,$,%-.(#,$)时,由())(*)有"(&!
6、,%!),$,此外还有(&!)(#!)$%!#(?(%#!,%!))/(’#!,!(#!))$%!,所以&是!&!上压缩映射,又(!,")是完备的度量空间,由0&.12不动点定理,存")?’在唯一!’!使&!$!,即(?(%#!,%!))(’#,!(#))$!,#’[#!"$,#!#$]从而(’#,!(#))$!,#’[#!"$,#!#$],由!(#)’!知,!在[#!"$,#!#$]上连续及!(#!)$%!和!(#)’[%!"$,%!#$](!"隐函数组定理及其证明******?’33定理:设’:)/),*/+:)/)是(#!,%!)’)/)的一个邻域,设’及在*/+内连续,又?
7、%?’设(’#!,%!)$!,[456(?%)(]#!,%!)%!,则@(#!,%!)的一个邻域*!/+!:*/+以及唯一的连续函数!:*!&+!满足(’#,!(#))$!,#!’*!其中æ?’)3?’)ö?’ç?%)?%*÷’)**333$ç÷,3’$(),3’,$)/)&),3’(,#,%)$’(,#),#*,%),%*),,$),*(?%ç?’*?’*÷’*,è?%)?%*ø")"*证明:"[-(#!,$),)*],表示定义在闭球-(#!,$)上,取值在)上的向