隐函数定理及应用

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1、第十八章隐函数定理及其应用§18.1隐函数1.方程能否在原点的某领域内确定隐函数或？解：对于方程有：（1）在原点某邻域内连续（2）（3）在原点某邻域内连续（4）所以由隐函数存在唯一性定理18.1知，方程在原点某邻域内可确定隐函数。2．方程在点（0，1，1）的某领域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？解：设则有（1）在点（0，1，1）的某邻域内连续；（2）；（3）在点（0，1，1）邻域内连续；（4），根据隐函数存在唯一性定理在点（0，1，1）的某邻域方程方程能确定函数3．求由下列方程所确定的隐函数的导数：(1)求；(2)求；(3)，求；(4)求；(5)，求；(6)求解：（1）方程两

2、边对求导，得：解上式得：=。（2）方程两边对求导，得：整理得：解得：。（3）令，则有：故，。（4）令则于是（5）令则故：（6）将看作的函数，对两边关于求导得：从上式解出有：同理把看作的函数，对两边关于求导得：解得：再把看作的函数，对两边关于求导得：解得：。2．设，其中为由方程所确定的隐函数，求.解：令则有：则由得：则。3．设，其中是由方程所确定的隐函数，求及.解：令则§18.2隐函数组1.试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数组？解：根据定理18.4，令：则有（1）在的某邻域内连续（2）（3）都在点邻域内连续。（4）由定理18.4，在点附近方程组能确定形式的隐函数组2．求下列方程组所

3、确定的隐函数组的导数：(1)求；(2)求(3)求解：（1）设方程组所确定的隐函数组为对方程组两边关于求导得：解得：。（2）方程组关于求偏导得：解此方程组得：同理方程组关于求偏导得：解得：。（3）方程组两边关于求偏导得：解得：2．求下列函数组所确定的反函数组的偏导数;(1)求(2)求。解：（1）方程组两边关于求偏导得：解之得：同理，函数组关于求偏导得：解之得：（2）首先对方程组两边关于求导得：解得：再对方程两边关于求导得：2．设函数由方程组所定义的函数,求当时的。解：由于则。3．设以为新的自变量变换下列方程:(1)设(2)设。解：（1）将作为自变量，看作的复合函数，则有（1）（2）将（1）

4、（2）代入方程得：则方程变换为：。（2）将作为自变量，看作的复合函数，则有（1）（2）将（1）（2）代入原方程化简得原方程化为：2．设函数由方程组所确定,求和。解：对方程组分别关于、求偏导得：解得解得§18.3几何应用1.求平面曲线上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长。解：令因为所以曲线上任一点或处的切线方程为即分别令和，则得此切线在轴和轴上的截距分别为。切线被坐标轴所截取线段长为故这些切线被坐标轴截取的线段等长。2.求下列曲线在所示点处的切线与法平面：(1),在点(2)在点.解(1):切点为因为所以切向量为故切线方程为即(2)设,在点处有所以切向量为,切线方程为法

5、平面方程为或3.求下列曲面在所示点处的切平面与法线;(1),在点;,(2),在点解:(1)设,则有:于是切平面方程为:整理得:法线方程为:(2)令,则:则切平面方程为整理得:法线方程为:整理得:4.证明对任意常数,球面与锥面是正交的.证明:设是球面与锥面交线上的任意一点,则球面在该点的法向量为,锥面在该点的法向量为,因为,所以,对任意的常数,球面与锥面正交.5.求曲面的切平面,使它平行于平面.解:设曲面上这点的切平面与平面平行,则,即,代入曲面方程得即故在点和点处的切平面与所给平面平行.其切平面方程分别为.6.求曲线上求出一点,使曲线在此点的切线平行于平面解:设曲线在处的切线平行于平面,

6、因为曲线在处的切向量为,所以,,即,解之得或故所求点为或§18.4条件极值1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：(1),若(2)(3)解（1）设令解之得由于当时，故函数必在唯一稳定处取得极小值，极小值.（2）设令解方程组得.由于当n个正数的积一定时，其和必有最小值，故一定在唯一稳定点（c,c,c,c）取得最小值也是极小值.（3)设令（1）-（2）得若代入（4），（5）可求得若得或如果,代入（4），(5)可求得；如果则代入（4），（5）可求得于是得到可能的条件极点值为6个：又在有界闭集上连续，故有最值。因此，极小值为极大值为2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体。(2)求体积一定

7、而表面最小的长方体。解设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，表面积为则体积为于是问题成为在条件下，求函数的最大值。设，令解得因为长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以表面积一定而体积最大的长方体是正方体。（2）设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，体积为则表面积为设令解得故体积一定而表面积最小的长方体是立方体。3.求空间一点的最短距离解：设平面上任意一点是。此题就是求函数在条件下的最小值。因为与的极值点相同，所以设令由（1），（