隐函数定理及其应用

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1、袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃节蚃羈肃莅袈袄肂蒇蚁螀肁虿蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莆螆肁膆蒈蕿羇膅薀螄袃膄芀薇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄膁芄袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂艿薁蚂肁芈芁蒅羇芇莃蚀羃芆薅蒃衿芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莀薆螃肆荿蚈蚆羂荿莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃节蚃羈肃莅袈袄肂蒇蚁螀肁虿蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莆螆肁膆蒈蕿羇膅薀螄袃膄芀薇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄膁芄袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂艿薁蚂肁芈芁蒅羇芇莃蚀羃芆薅蒃衿芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莀薆螃肆荿蚈蚆羂荿莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃节蚃羈肃

2、莅袈袄肂蒇蚁螀肁虿蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羁肈薄螈袇肇芃薀螃肇莆螆肁膆蒈蕿羇膅薀螄袃膄芀薇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄膁芄袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂艿薁蚂肁芈芁蒅羇芇莃蚀羃芆薅蒃衿芅芅螈螄芅莇薁肃芄蒀螇罿芃薂薀袅莂节螅螁莁莄薈肀莀薆螃肆荿蚈蚆羂荿莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃节蚃羈肃莅袈袄肂蒇蚁螀肁虿蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羁肈薄第十八章隐函数定理及其应用§1隐函数1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或？解令,则有(1)在原点的某邻域内连续;(2);(3),均在上述邻域内连续;(4),.故由隐函数存在唯一性定理知,方程在原点的某邻域内可确定隐函数.2方程在点(0,1,

3、1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个的函数.解令,则;(1)在点(0,1,1)的某域内连续;(2);(3),,均在上述邻域内连续;(4),,,故由隐函数存在唯一性定理知,在点(0,1,1)的某邻域内方程能确定出函数和.3求由下列程所确定的隐函数的导数;(1),求;(2),求;(3),求;(4)>0),求;(5),求;(6)求.解(1)方程两边对求导,得解得(2)解法一方程两边对求导,得即解得解法二方程两边分别微分,得解得(3)解法一设则所以,.解法二方程两边微分,得即故.(4)令则于是.(5)令则于是.(6)把看成的函数,两边

4、对求偏导,则有把看成的函数,两边对求偏导,则0=把看成的函数,两边对求偏导,则4．设，其中为由方程所确定的隐函数，求及。解由，得由，得故5.设，其中是由方程所确定的隐函数，求及。解由，得。于是，§2隐函数组1.1.      试讨论方程组，在点（1，-1，2）的附近能否确定形如的隐函数组？解令则（1）在点（1，-1，2）的某邻域内连续；（2）（3）均在点（一，-1，2）的邻域内连续；（4）。由隐函数组定理，在点（1，-1，2）的附近所给方程组能确定形如的隐函数组。2.2.      求下列程所确定的隐函数组的导数：（1）求（2）求（3

5、）求解（1）设方程组所确定的隐函数组为，对两边关于求导，得解方程组，得（2）方程组关于求偏导，得解得方程组关于求偏导，得解得（3）两个方程包含及四个变量，可以确定两个二元函数，因为是求。自然是因变量，是自变量。方程组关于求偏导解得3.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：（1）求。（2）求。解对函数组关求偏导数：即解之得，。函数组关求偏导数：解之得。（2）因为可通过对函数组两边关于求导，得解之得于是。4.设函数是由方程组为参量）所定义的函数，求当时的。解因为所以，当时，。5.设以为新的自变量变换下列方程：（1）设（2）设解（1）把作为

6、自变量，看作的复合函数，于是有将代入原方程，并化简得（2）代入原方程，并化简得6.设函数由方程组所确定，求和。解方程组分别关于求偏导数：解得解得。§3几何应用1.1.      求平面曲线（a>0）上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长。解令，则，于是，曲线上任一点处的切线方程为：,即。切线与两轴的交点分别为，因为2.求下列曲线在所示点出的切线方程与法平面方程：（1），在点；（2）在点解（1），所以切线方程为：。即。法平面方程为：即。（2）令则。所以。于是切线方程为：法平面方程为：。3.求下列曲面在所示点出的切面方

7、程与法线方程：（1）在点；（2）在点；解（1）令则。于是切面方程为：即。法线方程为（2）令则，，，故切面方程为：即法线方程为4.证明对任意常数，球面与锥面是正交的。证设是球面与锥面上的任一点，则球面在该点的法向量为，锥面在该点的法向量为因为所以，对任意的常数，球面与锥面是正交的。5.5.       求曲面的切平面，使它平行与平面。解设曲面上这一点的切平面与平面平行，则，即，代入曲面方程得，即。故在点和点出的切平面与所给平面平行，其切平面方程分别为6.在曲线上求出一点，使曲线在此点的切线平行与平面。解设曲线在处的切线平行与平面，因为曲

8、线在处的切向量为，所以，，即，解之得或，故所求点为或。§4条件极限1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极限：（1），若；（2），若（其中（3）若；解（1）设令解之得由于当时，故函数必在唯一稳定点处取得极小值，极小值。