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《数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E⊂R2,函数F:E→R2.如果存在集合I,J⊂E,对任何x∈I,有惟一确定的y∈J,使得(x,y)∈E,且满足方程F(x,y)=0,则称F(x,y)=0确定了一个定义在I上,值域含于J的隐函数.若把它记为y=f(x),x∈I,y∈J,则有F(x,f(x))≡0,x∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，∴要使隐函数存在，至少要存在点P0(x
2、0,y0),使F(x0,y0)=0,y0=f(x0).要使隐函数y=f(x)在点P0连续，需F在点P0可微，且(Fx(P0),Fy(P0))≠(0,0),即曲面z=F(x,y)在点P0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P0可微,则在F可微的假设下，通过F(x,y)=0在P0处对x求导，由链式法则得：Fx(P0)+Fy(P0)=0.当Fy(P0)≠0时，可得=-,同理，当Fx(P0)≠0时，可得=-.三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F
3、在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；(4)Fy(x0,y0)≠0.则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x),使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0),且F(x,f(x))≡0,y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4),不妨设Fy
4、(x0,y0)>0(若Fy(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0).由条件(3)Fy在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D,使得在其上每一点都有Fy(x,y)>0.∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0,F(x0,y0+β)>0.又由F的连续性条件(1),知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0
5、+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β,当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0,F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值,同样有F(,y0-β)<0,F(,y0+β)>0.又F(,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的∈(y0-β,y0+β),满足F(,)=0.又由在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α
6、),值域含于(y0-β,y0+β),若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β),则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点,=f().则由上述结论可知,y0-β<0,且ε足够小，使得y0-β≤-ε<<+ε≤y0+β.由F(,)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(,-ε)<0,F(,+ε)>0.根据保号性，知存在的某邻域(-δ,+δ)⊂(x0-α,x0+α),使得当x∈(-δ,+δ)时，同样有F(x,-ε)<0,F(y,+ε)>0,∴
7、存在惟一的y,使得F(x,y)=0,即y=f(x),
8、y-
9、<ε,即当
10、x-
11、<δ时,
12、f(x)-f()
13、<ε,∴f(x)在连续.由的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0,在点(0,0)不满足条件(4)(Fy(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0,虽然F(0,0)=0,F与Fy均连续，满足条件(1),(2),(3),但Fy(0,0)=0,致使其在原点无论怎样小的邻域
14、内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变Fx(x,y)连续，且Fx(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D上还存在连续的偏导数Fx(x,y),则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=
