数学分析专题研究学习辅导(一)

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1、数学分析专题研究学习辅导（一）第一章集合与映射（二）——关系与映射学习目标理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。内容提要(一)二元关系笛卡尔积：A×B={(a,b)｜a∈A,b∈B}，注意(a,b)为有次序的元素偶.从集合A到B中的关系：A×B中的每一子集R称为从A到B中的关系.若(a,b)∈R，则称a与b是R-相关的，记作aRb.关系R的定义域：Dom(R)={a｜存在b∈B，使aRb}(A

2、).关系R的值域：Ran(R)={b｜存在a∈A，使aRb}(B).关系R的象集：R()={b｜存在a∈，使得aRb}(B).其中集合A.关系R的逆：设RA×B，则B×A的子集={(b,a)｜aRb}称为R的逆.关系的复合:SR={(a,c)｜存在b∈B，使得aRb，bSc}，其中RA×B，SB×C.设A，B，C，D为集合；RA×B，SB×C，TC×D，则有关系的逆与复合运算满足：(1)=R；(2)=；(3)T(SR)=(TS)R.(二)映射映射：F∶X→Y，即x∈X，有唯一y∈Y，使得

3、xFy.映射F的象：y=F(x)，即对于每一x∈X，使得xFy成立的y.映射F的原象：，即对于y∈Y，使得xFy成立的x(x∈X).映射的复合：(GF)(x)=G(F(x))，其中F∶X→Y，G∶Y→Z.满射：若f(X)=Y，则称f为从X到Y上的满射.单射：若,∈X,≠，有f()≠f()，则称f为从X到Y上的单射.双射：若f即是单射又是满射的.逆映射：由y=f(x)确定的从Y到X的映射：Y→X，其中f∶X→Y是双射.结论1：设f∶X→Y，A，BY，则逆映射满足(1)(A∪B)=(A)∪(

4、B)；(2)(A∩B)=(A)∩(B)；(3)(A-B)=(A)-(B).结论2：设f∶X→Y，(1)若f是单射，则对于X的任意子集A，有(f(A))=A.(2)若f是满射，则对于Y的任意子集B，有f((B))=B.(三)运算运算：映射f:A×B→C是一个从A×B到C中的运算.特别的，映射f:A×A→A是A上的一个运算，并且称运算f在A上封闭.教育文档若f(a,b)=f(b,a),则称运算f满足交换律；若f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)),则称运算f满足结合律.f的右零元e

5、：a∈A,使f(a,e)=a；f的左零元e：a∈A,使f(e,a)=a；f的零元e：既是f的左零元，又是f的右零元.a的右逆元：对于a∈A，若∈A，使f(a,)=e；a的左逆元：对于a∈A，若∈A，使f(，a)=e；a的逆元：既是a的左逆元，又是a的右逆元.重难点解析(二)关于关系与映射世界上存在各种各样的事物，这些事物之间的相互联系，我们称之为“关系”.本节用统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的，但本质上却有其共性的“关系”.本节介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础，它们在

6、后续各章节中都有应用.因此，我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。1．笛卡尔积是一种集合的二元运算，是本节最基本的概念之一.集合A与B的笛卡尔积AB={(a,b)│aA,bB}是一个集合，这个集合的元素都是一些有序对，这些有序对中的第一个成员都是取自集合A，第二个成员都是取自集合B，不能随意取出写之.集合A，B的笛卡尔积与这两个集合的次序有关.一般地，若A与B非空，只要A≠B，则有A×B≠B

7、×A.也就是说交换律不成立.例如，集合A={a,b,c}，B={1,2}，则AB={a,b,c}{1,2}={(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)}AB={1,2}{a,b,c}={(1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,a)，(2,b)，(2,c)}所以A×B≠B×A.2.二元关系R是一个有序对组成的集合.因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示.但是任意一个集合就不一定是一个二元关系了，只有当这个集合是由有序对组成的，才能称为二元关系.例如，={

8、(a,1)，(b,2)}，={a，(b,2)}，那么是二元关系，而不是二元关系，仅仅是一个集合图1–61324二元关系R也可以用关系图表示.设集合A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，若R是从A到B的一个关系，则用m空心点表示a1,a2,…,am，用n空心点表示b1,b2,…,bn，这些空心点统称为结点.如果aiRbj，那么由结点ai到结点bj作一条有向弧，箭头指向bj；如果(ai,bj)R，那么结点ai与bj之间没有弧连结，这样的图形称为R的关系图.若R是A上一个关系，如