导数应用最值与不等式

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1、导数的应用—最值与不等式1.求最值方法步骤求定义域求导化简整理穿根定正负单调性极值最值图像方法技巧数形结合画导函数图像1.f(x)在区间[a,b]求最值：先求f(x)在(a,b)内的极值，将f(x)的各极值与端点值f(a)、f(b)比较,得出结论。2.f(x)在区间（a,b）或R上求最值，要注意结合解析式及单调性分析函数值变化趋势，结合极值点与函数零点的位置关系。2.不等式问题方法步骤求导研究单调性不等式等价变形定义新函数解决不等式问题或最值基础自测基础自测12.已知函数f(x)ln2xx,求f(x)

2、在，1上的最大值。2x213.已知函数f(x)exx1,求f(x)在，1上的最大值。2基础自测42分析：f(x)3ax3分类1-11-11-111aaa0a0a0111f(1)01aaf(1)0f(1)0f(1)0另解：a2,41f(1)0f()0a1所以f()0a4a抓条件，缩小a的出发点。综上a4典型问题一运用导数解决函数的最值问题x2例1.(13年广东理)f(x)e(x1)kx.

3、1(2)k,1,求函数f(x)在0,k上的最大值。2x分析：f(x)x(e2k),2k1,2,有两个零点,0和ln2k.障碍一：ln2k与区间0，k的关系，怎样解决?1定义g(k)ln2kk，k,1，求最值。2障碍二：可知yMAXf(0),f(k)，怎样解决?maxk2作差f(k)f(0）（k-1）(ekk1）,k21定义h(k)ekk1,求h(k)在,1上的最值。2典型问题一运用导数解决函数的最值问题x2例1.(13年广

4、东理)f(x)e(x1)kx.1(2)k,1,求函数f(x)在0,k上的最大值。2强化步骤，转化障碍，题目分解，各个击破！规范步骤：•1．过程书写要干净利落，条理分明，突出解法的逻辑关系．•2．要用数学语言，尤其借助于符号语言来进行说明可省去大篇的文字．•3．解题步骤在说明函数的单调性与极值时，必须明确导数正负，再出单调性，使问题的解决清晰明了。典型问题二借助最值解决不等式问题x例2：证明不等式：elnx2x分析：不等式变形为：e-lnx-20x考虑定义f(x)e-lnx-2,

5、求出最小值证明其大于0.x1f(x)e-，x0x障碍一：导数要分析什么，怎样分析?目标引领思路：导数要分析正负，有无零点典型问题二借助最值解决不等式问题x例2：证明不等式：elnx2x分析：不等式变形为：e-lnx-20x考虑定义f(x)e-lnx-2,求出最小值证明其大于0.x11f(x)e-，x0,易知f(x)单增，f()0,f(1)0x21x1!x,1,使得f(x)e0-01x010022x0并且f(x)在（0，x）上单增，在（x，）上单减00x

6、0yf(x)elnx2min00障碍二：导数有零点，求不出来怎么办?回归问题本源，问题变条件典型问题二借助最值解决不等式问题x例2：证明不等式：elnx2x分析：不等式变形为：e-lnx-20x考虑定义f(x)e-lnx-2,求出最小值证明其大于0.x11f(x)e-，x0,易知f(x)单增，f()0,f(1)0x21x1!x,1,使得f(x)e0-01x010022x0并且f(x)在（0，x）上单增，在（x，）上单减00x0yf(x)elnx

7、2min00x01障碍二：导数有零点，求不出来怎么办?e,xlnx,00x021(x1)0yminx020，即证。回归问题本源，问题变条件xx002练习：设函数f(x)ln(xa)x.e若f(x)存在极值，求a的范围，并证明所有极值之和大于ln.2高考题组x1.(2012新课标)：已知函数f(x)eax2.(1)求f(x)的单调区间；（2）若a1,k为整数，且当x0时，(x-k）f(x)x10,求k的最大值。1.(2)(x－k)(ex－1)＋x＋1>0.等价变形，分

8、离参数x＋1x＋1k＜＋x(x＞0)令g(x)＝＋x，求最小值，ex－1ex－1exex－x－2g′(x)＝.0a1ex－12由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)＜0，h(2)＞0，故g′(x)在Ǝ!α∈(1,2)．g′(α)＝0，即eα＝α＋2易知最小为g(α)，所以g(α)＝∈(2,3)．k＜α＋1，故k的最大为2.高考题组x2.(2013新课标)已