导数的应用(根,不等式,最值,凹凸)

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1、(十二)利用函数的单调性与极值讨论方程根的存在性及个数例证明下列方程根的问题:（1）证明方程有且仅有一个实根。证明：令因为,由根的存在定理知，在内至少有一个零点再证只有一个实根：因为，而，故，即在上单调增加。故结论得证。（2）设在上连续，当时。证明若，则方程在上有且仅有一个实根证明：由拉格朗日中值定理得使得由，知。由连续函数的介值定理知：使;又因当时知在上严格递增，故只有一个实根（3）设在上可导，若有实数使，证明方程最多只有一个实根证明：设，则，即在上递减，故方程最多只有一个实根，从而方程22最多只有一个实根（4）设在上二阶

2、可导，当时，证明方程在内有且只有一个实根证明：因，所以单调减少。故当时从而在上单调减少，所以方程在内最多只有一个实根下面证明方程在内至少有一个实根：，由泰劳公式由知，存在使；在上利用根的存在性定理可得方程在内至少有一个实根（5）研究方程的实根，解：令，则，得驻点，当时，，故在内单调增加；当时，，故在内单调减少。所以是在内的极大值也是最大值下面讨论与轴的相对位置，由此可以讨论出的零点：若，则无零点;若，则有唯一零点;若，则由在内单调增加及知在内有唯一零点；再由在内单调减少及知在内有唯一零点。综上所述，当时方程没有实根，当时方程

3、有一个实根，当时方程有两个实根。（6）试确定方程根的个数，并指出每个根所在的范围22解：若设，则，很难求驻点。因此可考虑将方程变形为：（因不是方程的根）.设，则，得驻点，易知在和上单调递增，在上单调递减。由，，，故若，则，从而方程有一个根在内若，则，从而方程有两个根，一个是，另一个在内若，则，从而方程有三个根，分别在、、内讨论下列方程的根:（1）证明方程只有一个实根，其中证明：设，由，及零点存在定理知至少有一个实根；又知单调递增，故得证（2）讨论方程的根解：设若，，由知，方程只有一个根;若，因，方程无根若，得唯一驻点，此时，

4、因，故是的唯一极小值点。又当，方程有唯一根；当，方程无根；当22，方程有两个根（3）讨论方程的实根个数（）解：设，则，，易知在上递增、在上递减、在处取得极大值若，即，无零点;若，即，有唯一一个零点若，即，由知有两个零点（4）设是方程的大于1的根，其中，证明证明：设，由于在上，故在上严格递增。又因为==当时，而；故由的严格递增性与连续函数的介值性知，方程的大于1的根在内取到，即（5）设，确定的值使方程存在正根证明：设，则，而在0点附近大于0，即在0点附近严格递增，即，使，又，所以，使，得证（6）证明方程有两个不同的实根证明：令

5、，通过求导数可知在上递增，在上递减，在上递增；又22.于是有两个根：（7）讨论方程有三个不同实根的条件证明：设若为的三个根，则，使即，由于，必有，即……………………………（*）由于上述推导过程可逆，故当满足（*）式时方程有三个不同实根（8）讨论方程有两个不同实根的条件证明：设若方程有两个不同实根，则，使，即；又有；因此有，即。由于上述推导过程可逆，故当时方程有两个不同实根（9）设函数在上可导且，证明方程至多有一个实根证明：设则故在上严格递增，所以方程至多有一个实根（十三）利用函数的单调性证明不等式例证明下列不等式：22（1）

6、证明证明：根据所证的不等式的特征，构造一个与之相似的辅助函数，设，因为，所以单调增加，而。故，即（2）证明不等式思路：显然可利用函数的单调性，但直接证明有困难，因此可把不等式变成等价的问题（因为，再用单调性进行论证。证明：设。则因此在上递增，故。即，所以（3）设，证明证明：不等式变成等价的问题，再用单调性进行论证。（4）设，证明证明：先证右边不等式：设，用单调性可得证再证左边不等式：可设，用单调性可得证；也可以用拉格朗日中值定理证明（5）证明：当时，证明：先证右边不等式：设，用单调性可得证.22再证左边不等式：法一、所证不等

7、式等价于；设，则再令，则，故递减，即即，从而，得证法二、设，则；在内，递增，所以，在内，递减，所以，（6）证明：设，则所以在上严格递增，故从而在上严格递增，故（7）设为自然数，求证且证明：设，则，易知，因为，所以当时递减趋于0，于是当时，故当时递减趋于0，从而，即，即设，用同样的方法可证当时，即22即.故，即，由迫敛性定理得例证明下列不等式：（1）设函数在上可导，且，，求证：证明：令。则，其中在上有定义，满足因为且，故在上有，故有，即为上的递增函数，故有,从而有，又因为，所以在上有，特别有，得证。（2）设在上单调增加且连续，

8、求分析与证明：引入新参数，设,易知，在上可导，且。由在上单调增加知，。故在上单调增加，即亦即（3）设在上连续，证明22证明：构造函数则=即在上单调减少，故，所以（4）设在上连续且严格递增，证明证明：构造函数，同上题的做法，可证得结论。（5）设在上连续且，证明证明：构造函数，同法可证。（6）