2009年湖南省高考数学(理)解析版

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1、2009年湖南高考数学（理工农医类）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若,,则A．，B．，C．，D．，【D】2．对于非零向量,,“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【A】3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于A．B．C．D．【D】4．如图，当参数,时，连续函数的图象分别对应曲线OxyC1C2和，则A．B．C．  图1D．【B】5．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为A．B．

2、C．D．【C】6．已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为A．B．C．D．【B】7．正方体的棱上到异面直线,的距离相等的点的个数为A．B．C．D．【C】8．设函数在内有定义．对于给定的正数,定义函数　    取函数．若对任意的，恒有，则8A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为D．的最小值为【D】二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．某班共人，其中人喜爱篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．10．在的展开式中，的系数为7（用数字作答）．1

3、1．若，则的最小值为．13．一个总体分为,两层，其个体数之比为,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数为40．14．在半径为的球面上有,,三点，,,,则（1）球心到平面的距离为12；（2）过,两点的大圆面与平面所成二面角（锐角）的正切值为3．15．将正分割成（,）个全等的小正三角形（图,图3分别给出了,的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于时）都分别依次成等差数列．若顶点,,处的三个数互不相同且和为，记所有顶点上的数之和为,则有,,…,．三、解答题：本

4、大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在中，已知 ,求角,,的大小.解设，，．8由得 ，所以．又，因此．由得 ．于是．所以，，因此，，即．由知，所以，从而，或．即，或．故，，，或，，．17．（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的, , .现有名工人独立地从中任选一个项目参与建设.(Ⅰ) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 记为人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望.

5、解记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件，，，，，．由题意知，，相互独立，，，相互独立，，，相互独立，，，（，，，，，且，，互不相同）相互独立，且，，．（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ．（Ⅱ）解法1设名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知，，且，所以，，，．故的分布列是8  的数学期望．解法2记第名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件，，，．由已知，，，相互独立，且,所以，即，，，，．故的分布列是的数学期望．18．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中,,点是的中点，点在上，且.(Ⅰ) 证明：平面

6、平面；(Ⅱ) 求直线和平面所成角的正弦值.图4解（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知 平面．又平面，所以．而，，所以平面．又平面，故平面平面．（Ⅱ）解法1   如图所示，设是的中点，连结，，．由正三棱柱的性质及是的中点知，，．又，所以平面．而，所以平面．又平面，故平面平面．过点作垂直于点，则平面．连结，则是直线和平面所成的角.由已知，不妨设，则，，，，，.8所以 .即直线和平面所成角的正弦值为.解法2如图所示，设是的中点，以为原点建立空间直角坐标系.不妨设，则，相关各点的坐标分别是，，，.易知 ，，.设平面的一个法向量为 ，则有解得，.故可取 .所以，.由此即知，直线

7、和平面所成角的正弦值为.19．（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为万元；距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元.(Ⅰ) 试写出关于的函数关系式；(Ⅱ) 当米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解（Ⅰ）设需新建个桥墩，则 ，即 ，所以  ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．令，得 ，所以 ． 当时，，在区间内为减函数；当时，，在区间内为增函数．所以在处取得最小值．此时 ．   故需新建个桥墩才能使最小．