发掘不等关系解（证）等式问题

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1、发掘不等关系解（证）等式问题　　相等和不等是一对既对立又统一的矛盾，它们在一定条件下可以互相转化.数学中的一些相等问题，如求值、等式证明、解方程(组)等，若直接求解有困难，不妨从相等的条件中发拙不等关系，以不等为突破口，往往能使问题获得巧妙的解法.兹举例说明.　　一、从二次根式中发掘不等式关系　　对于含有二次根式的等式问题，首先要考虑二次根式的被开方数非负，由此建立不等关系.　　例1已知y=x2-25x-4-x2-24-5x+2,则x2+y2=.(2000年重庆市初中数学竞赛试题)　　解析：本题若直接代入求

2、解，则难以奏效，由二次根式的被开方数非负得x2-25x-4≥0且x2-24-5x≥0，由此可得x2-2=0即x2=2进而可得y=2，从而x2+y2=2+22=6.　　评注：不等关系的发掘是解决本题的关键.　　例2设等式a(x-a)+a(y-a)=x-a-a-y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则3x2+xy-y2x2-xy+y2的值为.(1991年全国初中数学竞赛试题)　　解析：已知式有3个字母，关系较为复杂，x、y的关系不易求得，可由二次根式的被开方数非负建立不等

3、关系寻求突破口.由a(x-a)≥0,　　a(y-x)≥0,　　x-a≥0,　　a-y≥0可得a≥0,　　a≤0,则a=0，代入已知式得x--y=0，则x=-y，故原式=3y2-y2-y2y2+y2+y2=13.　　二、从整数中发掘不等关系　　对涉及方程有整数根的问题，可利用整数的性质发掘不等关系.　　例3求方程2x+3x+1+4x+2=13360的正整数根.(1990年上海市初中数学竞赛试题)　　解析：本题若直接去分母，将得到一个难解的高次方程，注意到原方程的特点，由

4、x是正整数得1x>1x+1>1x+2，则由原方程得9x+2<13360<9x，即28133　　例4若a、b、c是非负整数，且29a+30b+31c=336，则a+b+c=().(2006年江苏省数学竞赛试题)　　A.10B.12C.14D.16　　解析：已知式中a、b、c的系数逐一增大，而待求式中a、b、c的系数相等，为此考虑对已知式中a、b、c的系数进行调整，由a、b、c是非负整数可得不等式29(a+b+c)≤29a+30b+31c≤31(a+b+c),即29(

5、a+b+c)≤336≤31(a+b+c).由此得112531≤a+b+c≤121829.又由a、b、c是非负整数得a+b+c=12,故选B.　　例5求所有正整数a、b、c，使得关于x的方程x2-3ax+2b=0，①　　x2-3bx+2c=0,②　　x2-3cx+2a=0③的所有根都是正整数.(2000年全国初中数学竞赛试题)　　解析：首先考虑方程①.设它的两个正整数根分别为x1、x2，则有恒等式x2-3ax+2b=(x-x1)(x-x2).由于x1≥1且x2≥

6、1，在上式中取x=1，得不等式1-3a+2b=(1-x1)•(1-x2)≥0，即1+2b≥3a.同理由②、③可得1+2c≥3b,1+2a≥3c.三式相加得3≥a+b+c，又由a、b、c为正整数可得a=b=c=1.　　三、在一元二次方程中发掘不等关系　　对于方程的个数少于未知元的个数的解方程(组)问题，可考虑构造一元二次方程，由方程有实数根时其判别式△≥0寻求突破.构造一元二次方程的方法有选择主元构造和由韦达定理构造两种.　　例6实数x、y满足(x2+2x+3)(3

7、y2+2y+1)=43，则x+y=.(2001年全国初中数学联赛武汉赛区选拔赛试题)　　解析：选择y为主元，设x2+2x+3=t，把原方程整理成关于y的一元二次方程3ty2+2ty+t-43=0.由y为实数得△=(2t)2-43t(t-43)≥0，解得0≤t≤2,即0≤x2+2x+3≤2，由此可解得x=-1，代入原方程得3y2+2y+1=23，解得y=-13，所以x+y=-43.　　例7求方程组x+y=2　　xy-z2=1的实数根.(1997年祖冲之杯初中数学竞赛试题)　

8、　解析：由原方程组得x+y=2,xy=z2+1，则x、y为一元二次方程t2-2t+(z2+1)=0的两实根.由△=(-2)2-4(z2+1)=-4z2≥0，得z2≤0，从而z=0.代入原方程得x=1,y=1.故原方程组的实数解为(1，1，0).　　四、从a2、b2、2ab中发掘不等关系　　由(a-b)2≥0得a2+b